標準歯車のかみ合いにおいて、中心距離を $a$、両歯車の外径を $d_{z1}$、$d_{z2}$ とするとき、モジュール $m$ と両歯車の歯数 $z_1$、$z_2$ を求める式を求め、与えられた値 $a=166 \text{mm}$, $d_{z1}=120 \text{mm}$, $d_{z2}=228 \text{mm}$ の場合に計算せよ。

1. 問題の内容

標準歯車のかみ合いにおいて、中心距離を $a$、両歯車の外径を $d_{z1}$、$d_{z2}$ とするとき、モジュール $m$ と両歯車の歯数 $z_1$、$z_2$ を求める式を求め、与えられた値 $a=166 \text{mm}$, $d_{z1}=120 \text{mm}$, $d_{z2}=228 \text{mm}$ の場合に計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、ピッチ円直径 $d_1$、$d_2$ を外径 $d_{z1}$、$d_{z2}$ とモジュール $m$ を用いて表す。

$d_1 = d_{z1} - 2m$

$d_2 = d_{z2} - 2m$

中心距離 $a$ はピッチ円直径を用いて次のように表される。

$a = \frac{d_1 + d_2}{2}$

上の式に $d_1$ と $d_2$ の式を代入する。

$a = \frac{d_{z1} - 2m + d_{z2} - 2m}{2}$

$a = \frac{d_{z1} + d_{z2} - 4m}{2}$

この式を $m$ について解く。

$2a = d_{z1} + d_{z2} - 4m$

$4m = d_{z1} + d_{z2} - 2a$

$m = \frac{d_{z1} + d_{z2} - 2a}{4}$

モジュール $m$ を用いて歯数 $z_1$、$z_2$ は次のように表される。

$z_1 = \frac{d_1}{m} = \frac{d_{z1} - 2m}{m} = \frac{d_{z1}}{m} - 2$

$z_2 = \frac{d_2}{m} = \frac{d_{z2} - 2m}{m} = \frac{d_{z2}}{m} - 2$

$a=166 \text{mm}$, $d_{z1}=120 \text{mm}$, $d_{z2}=228 \text{mm}$ を代入して計算する。

$m = \frac{120 + 228 - 2 \times 166}{4} = \frac{348 - 332}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$z_1 = \frac{120}{4} - 2 = 30 - 2 = 28$

$z_2 = \frac{228}{4} - 2 = 57 - 2 = 55$

3. 最終的な答え

モジュール $m = 4$

歯数 $z_1 = 28$

歯数 $z_2 = 55$