関数 $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$, $x(s, t) = s \cos(t)$, $y(s, t) = s \sin(t)$ が与えられている。合成関数 $F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))$ の偏導関数 $\frac{\partial F}{\partial s}$ と $\frac{\partial F}{\partial t}$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$, $x(s, t) = s \cos(t)$, $y(s, t) = s \sin(t)$ が与えられている。合成関数 $F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))$ の偏導関数 $\frac{\partial F}{\partial s}$ と $\frac{\partial F}{\partial t}$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(i) $\frac{\partial F}{\partial s}$ を求める。

連鎖律より、

$\frac{\partial F}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$

まず、$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{x^2 + y^2} = 2x e^{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{x^2 + y^2} = 2y e^{x^2 + y^2}$

次に、$\frac{\partial x}{\partial s}$ と $\frac{\partial y}{\partial s}$ を計算する。

$\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} (s \cos(t)) = \cos(t)$

$\frac{\partial y}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} (s \sin(t)) = \sin(t)$

したがって、

$\frac{\partial F}{\partial s} = (2x e^{x^2 + y^2}) (\cos(t)) + (2y e^{x^2 + y^2}) (\sin(t))$

$x = s \cos(t)$ と $y = s \sin(t)$ を代入すると、

$\frac{\partial F}{\partial s} = (2 s \cos(t) e^{(s \cos(t))^2 + (s \sin(t))^2}) (\cos(t)) + (2 s \sin(t) e^{(s \cos(t))^2 + (s \sin(t))^2}) (\sin(t))$

$\frac{\partial F}{\partial s} = 2 s \cos^2(t) e^{s^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t))} + 2 s \sin^2(t) e^{s^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t))}$

$\frac{\partial F}{\partial s} = 2 s \cos^2(t) e^{s^2} + 2 s \sin^2(t) e^{s^2} = 2s e^{s^2} (\cos^2(t) + \sin^2(t))$

$\frac{\partial F}{\partial s} = 2s e^{s^2}$

(ii) $\frac{\partial F}{\partial t}$ を求める。

連鎖律より、

$\frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ はすでに計算済み。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y e^{x^2 + y^2}$

次に、$\frac{\partial x}{\partial t}$ と $\frac{\partial y}{\partial t}$ を計算する。

$\frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (s \cos(t)) = -s \sin(t)$

$\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (s \sin(t)) = s \cos(t)$

したがって、

$\frac{\partial F}{\partial t} = (2x e^{x^2 + y^2}) (-s \sin(t)) + (2y e^{x^2 + y^2}) (s \cos(t))$

$x = s \cos(t)$ と $y = s \sin(t)$ を代入すると、

$\frac{\partial F}{\partial t} = (2 s \cos(t) e^{(s \cos(t))^2 + (s \sin(t))^2}) (-s \sin(t)) + (2 s \sin(t) e^{(s \cos(t))^2 + (s \sin(t))^2}) (s \cos(t))$

$\frac{\partial F}{\partial t} = -2 s^2 \cos(t) \sin(t) e^{s^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t))} + 2 s^2 \sin(t) \cos(t) e^{s^2 (\cos^2(t) + \sin^2(t))}$

$\frac{\partial F}{\partial t} = -2 s^2 \cos(t) \sin(t) e^{s^2} + 2 s^2 \sin(t) \cos(t) e^{s^2} = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial F}{\partial s} = 2se^{s^2}$

$\frac{\partial F}{\partial t} = 0$