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与えられた不定積分を計算します。積分は $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx$ です。

解析学積分不定積分置換積分指数関数対数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。積分は
∫ex+e−xex−e−xdx\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx
です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使います。
u=ex−e−xu = e^x - e^{-x} と置きます。
すると、du/dx=ex+e−xdu/dx = e^x + e^{-x} となります。
したがって、du=(ex+e−x)dxdu = (e^x + e^{-x}) dx となります。
積分を書き換えると、
∫ex+e−xex−e−xdx=∫1udu\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx = \int \frac{1}{u} du
となります。
∫1udu=ln⁡∣u∣+C\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C （ここで、CC は積分定数です）
ここで、uu を元の変数 xx に戻します。
ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣ex−e−x∣+C\ln|u| + C = \ln|e^x - e^{-x}| + C

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。
ln⁡∣ex−e−x∣+C\ln|e^x - e^{-x}| + C

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