関数 $z = f(x, y) = 3x^2y + 3xy$ のグラフ上の点 $(1, -1)$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = f(x, y) = 3x^2y + 3xy$ のグラフ上の点 $(1, -1)$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、以下の式で与えられます。

$z - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$(x_0, y_0) = (1, -1)$ であり、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する偏微分です。

まず、$f(1, -1)$ を計算します。

$f(1, -1) = 3(1)^2(-1) + 3(1)(-1) = -3 - 3 = -6$

次に、$f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y + 3xy) = 6xy + 3y$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y + 3xy) = 3x^2 + 3x$

次に、$f_x(1, -1)$ と $f_y(1, -1)$ を計算します。

$f_x(1, -1) = 6(1)(-1) + 3(-1) = -6 - 3 = -9$

$f_y(1, -1) = 3(1)^2 + 3(1) = 3 + 3 = 6$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - (-6) = -9(x - 1) + 6(y - (-1))$

$z + 6 = -9x + 9 + 6y + 6$

$z = -9x + 6y + 9 + 6 - 6$

$z = -9x + 6y + 9$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = -9x + 6y + 9$ です。