$\int \sin x \sin 2x dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \sin x \sin 2x dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積を和に変換する公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を用いて、被積分関数を変形します。

$A=x$, $B=2x$とすると、

$\sin x \sin 2x = \frac{1}{2}[\cos(x-2x) - \cos(x+2x)] = \frac{1}{2}[\cos(-x) - \cos(3x)] = \frac{1}{2}[\cos x - \cos 3x]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sin x \sin 2x dx = \int \frac{1}{2}[\cos x - \cos 3x] dx$

積分を分解し、それぞれの項を積分します。

$\int \frac{1}{2}[\cos x - \cos 3x] dx = \frac{1}{2} \int \cos x dx - \frac{1}{2} \int \cos 3x dx$

$\int \cos x dx = \sin x + C_1$

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int \cos x dx - \frac{1}{2} \int \cos 3x dx = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + C = \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{6} \sin 3x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{6} \sin 3x + C$