曲線 $y = x^3 - 4x^2$ 上の点 A(3, -9) における接線を $l$ とする。 (1) $l$ の方程式を求めよ。 (2) この曲線の接線には、$l$ に平行なもう1本の接線がある。その接点 B の $x$ 座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x^2$ 上の点 A(3, -9) における接線を $l$ とする。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) この曲線の接線には、$l$ に平行なもう1本の接線がある。その接点 B の $x$ 座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、曲線の微分を求め、点 A における接線の傾きを計算する。

$y = x^3 - 4x^2$ より、$y' = 3x^2 - 8x$。

点 A(3, -9) における接線の傾き $m$ は、

$m = y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3$。

よって、接線 $l$ の方程式は、$y - (-9) = 3(x - 3)$ より、

$y + 9 = 3x - 9$

$y = 3x - 18$

(2) $l$ に平行なもう1本の接線の傾きも 3 である。

$y' = 3x^2 - 8x = 3$ を満たす $x$ を求める。

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

$(3x + 1)(x - 3) = 0$

$x = 3$ または $x = -\frac{1}{3}$

点 A の $x$ 座標は 3 なので、求める点 B の $x$ 座標は $-\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $l$ の方程式: $y = 3x - 18$

(2) 点 B の $x$ 座標: $-\frac{1}{3}$