関数 $y = x^2(x-a)$ の増減を、$a > 0$, $a = 0$, $a < 0$ のそれぞれの場合について調べ、極大値があれば極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2(x-a)$ の増減を、$a > 0$, $a = 0$, $a < 0$ のそれぞれの場合について調べ、極大値があれば極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を展開し、$x$ で微分して導関数 $y'$ を求めます。

$y'$ を $0$ とおいて、極値を与える $x$ の値を求めます。

次に、それぞれの $a$ の範囲において増減表を作成し、極大値を求めます。

(1) $a > 0$ の場合

$y = x^3 - ax^2$

$y' = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, \frac{2a}{3}$

$a > 0$ より、$0 < \frac{2a}{3}$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2a/3 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 0 | ↓ | -4a^3/27 | ↑ |

したがって、$x = 0$ で極大値 $0$ をとります。

(2) $a = 0$ の場合

$y = x^3$

$y' = 3x^2$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$

$x < 0$ で $y' > 0$, $x > 0$ で $y' > 0$ なので、極値は存在しません。

したがって、極大値はありません。

(3) $a < 0$ の場合

$y = x^3 - ax^2$

$y' = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, \frac{2a}{3}$

$a < 0$ より、$\frac{2a}{3} < 0$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 2a/3 | ... | 0 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | -4a^3/27 | ↓ | 0 | ↑ |

したがって、$x = 0$ で極大値 $0$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $a > 0$ のとき、極大値 $0$ ($x = 0$)。

(2) $a = 0$ のとき、極大値なし。

(3) $a < 0$ のとき、極大値 $0$ ($x = 0$)。