(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$t = x - \frac{\pi}{2}$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ である。

$\cos x = \cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$ であるから、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(-2\sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{2\sin t} \cdot \frac{2\sin t}{t} = -1 \cdot 2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6} \cdot \frac{6}{x-3} \cdot x} = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6}}]^{\frac{6x}{x-3}}$

ここで、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を用いると、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6}} = e$ であり、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{x-3} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{1 - \frac{3}{x}} = 6$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x = e^6$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) $e^6$