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与えられた三角関数の等式を証明する。 (1) $\frac{2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$ (2) $(\tan \theta - \sin \theta)^2 + (1 - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\cos \theta} - 1)^2$

解析学三角関数恒等式三角関数の証明
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式を証明する。
(1) 2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θ1−sin⁡θ+sin⁡2θ−cos⁡2θ=1tan⁡θ\frac{2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\tan \theta}
(2) (tan⁡θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2=(1cos⁡θ−1)2(\tan \theta - \sin \theta)^2 + (1 - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\cos \theta} - 1)^2

2. 解き方の手順

(1) 左辺を変形して右辺を導く。
2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θ1−sin⁡θ+sin⁡2θ−cos⁡2θ=cos⁡θ(2sin⁡θ−1)1−sin⁡θ+sin⁡2θ−(1−sin⁡2θ)\frac{2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta (2 \sin \theta - 1)}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)}
=cos⁡θ(2sin⁡θ−1)1−sin⁡θ+sin⁡2θ−1+sin⁡2θ=cos⁡θ(2sin⁡θ−1)2sin⁡2θ−sin⁡θ= \frac{\cos \theta (2 \sin \theta - 1)}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - 1 + \sin^2 \theta} = \frac{\cos \theta (2 \sin \theta - 1)}{2 \sin^2 \theta - \sin \theta}
=cos⁡θ(2sin⁡θ−1)sin⁡θ(2sin⁡θ−1)=cos⁡θsin⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=1tan⁡θ= \frac{\cos \theta (2 \sin \theta - 1)}{\sin \theta (2 \sin \theta - 1)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{1}{\tan \theta}
(2) 左辺を変形して右辺を導く。
(tan⁡θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2=(sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2(\tan \theta - \sin \theta)^2 + (1 - \cos \theta)^2 = (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \sin \theta)^2 + (1 - \cos \theta)^2
=(sin⁡θ−sin⁡θcos⁡θcos⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2=(sin⁡θ(1−cos⁡θ)cos⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2= (\frac{\sin \theta - \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta})^2 + (1 - \cos \theta)^2 = (\frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\cos \theta})^2 + (1 - \cos \theta)^2
=sin⁡2θ(1−cos⁡θ)2cos⁡2θ+(1−cos⁡θ)2=(1−cos⁡2θ)(1−cos⁡θ)2cos⁡2θ+(1−cos⁡θ)2= \frac{\sin^2 \theta (1 - \cos \theta)^2}{\cos^2 \theta} + (1 - \cos \theta)^2 = \frac{(1 - \cos^2 \theta) (1 - \cos \theta)^2}{\cos^2 \theta} + (1 - \cos \theta)^2
=(1−cos⁡θ)2((1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ))cos⁡2θ+(1−cos⁡θ)2=(1−cos⁡θ)2(1−cos⁡2θcos⁡2θ+1)= \frac{(1 - \cos \theta)^2 ((1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta))}{\cos^2 \theta} + (1 - \cos \theta)^2 = (1-\cos \theta)^2 (\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1)
=(1−cos⁡θ)2(1−cos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ)=(1−cos⁡θ)2(1cos⁡2θ)= (1 - \cos \theta)^2(\frac{1-\cos^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}) = (1 - \cos \theta)^2(\frac{1}{\cos^2 \theta})
=(1−cos⁡θcos⁡θ)2=(1cos⁡θ−cos⁡θcos⁡θ)2=(1cos⁡θ−1)2= (\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta})^2 = (\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta})^2 = (\frac{1}{\cos \theta} - 1)^2

3. 最終的な答え

(1) 2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θ1−sin⁡θ+sin⁡2θ−cos⁡2θ=1tan⁡θ\frac{2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta}{1 - \sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\tan \theta}
(2) (tan⁡θ−sin⁡θ)2+(1−cos⁡θ)2=(1cos⁡θ−1)2(\tan \theta - \sin \theta)^2 + (1 - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\cos \theta} - 1)^2

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