静止している観測者に向かって、音源が20 m/sで近づきながら、4.0×10^2 Hzの音を10秒間鳴らす。音速は3.4×10^2 m/sとする。 (1) 観測者が観測する音の波長を求める。 (2) 観測者が音源の音を聞く時間を求める。

1. 問題の内容

静止している観測者に向かって、音源が20 m/sで近づきながら、4.0×10^2 Hzの音を10秒間鳴らす。音速は3.4×10^2 m/sとする。

(1) 観測者が観測する音の波長を求める。

(2) 観測者が音源の音を聞く時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 観測者が観測する音の波長を求める。

ドップラー効果により、観測者が観測する振動数 $f'$ は、音源の振動数 $f$、音速 $V$、音源の速度 $v$ を用いて、以下の式で表される。

$f' = \frac{V}{V - v} f$

問題文より、$f = 4.0 \times 10^2$ Hz、$V = 3.4 \times 10^2$ m/s、$v = 20$ m/s であるから、

$f' = \frac{3.4 \times 10^2}{3.4 \times 10^2 - 20} \times 4.0 \times 10^2 = \frac{340}{320} \times 400 = \frac{17}{16} \times 400 = 17 \times 25 = 425$ Hz

観測者が観測する音の波長 $\lambda'$ は、$\lambda' = \frac{V}{f'}$ で求められる。

$\lambda' = \frac{3.4 \times 10^2}{425} = \frac{340}{425} = \frac{68}{85} = \frac{4}{5} = 0.8$ m

(2) 観測者が音源の音を聞く時間を求める。

音源が10秒間音を出している間に、音源は観測者に向かって進んでいる。音源が出した音の波の数は、音源が発した波の数と観測者が受け取る波の数は等しいことから、音源が10秒間に出した波の数と、観測者が受け取る波の数は等しい。

観測者が受け取る振動数は $f' = 425$ Hzなので、観測者が受け取る波の数は $425 \times t$ （$t$ は観測者が音を聞く時間）である。

一方、音源が発する振動数は $f = 400$ Hzであり、音源が音を出している時間は10秒なので、音源が出した波の数は $400 \times 10 = 4000$ である。

したがって、$425 \times t = 4000$ より、$t = \frac{4000}{425} = \frac{160}{17} \approx 9.41$ 秒。

3. 最終的な答え

(1) 観測者が観測する音の波長は 0.8 m

(2) 観測者は音源の音を 9.41 秒間聞く