この問題は、東西に並んだ地点にいる人々が集まる際の移動コストを最小化する問題です。 まず、A地点とB地点にそれぞれ3人、4人がいるケースを考え、A地点から $x$ kmの地点に集まる場合の移動コストを式で表します。 次に、A地点、B地点にいる人数を一般化し、集まる場所がA地点、B地点のどちらになるかを条件に応じて答えます。 最後に、A, B, Cの3地点に人がいるケースを考え、移動コストを最小にする条件を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、東西に並んだ地点にいる人々が集まる際の移動コストを最小化する問題です。

まず、A地点とB地点にそれぞれ3人、4人がいるケースを考え、A地点から $x$ kmの地点に集まる場合の移動コストを式で表します。

次に、A地点、B地点にいる人数を一般化し、集まる場所がA地点、B地点のどちらになるかを条件に応じて答えます。

最後に、A, B, Cの3地点に人がいるケースを考え、移動コストを最小にする条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) (1) 太郎さんの式について考えます。

A地点から$x$ kmの地点に集まると、A地点にいる3人はそれぞれ $x$ km移動し、B地点にいる4人はそれぞれ $(10-x)$ km移動します。

よって、移動コスト $y$ は、

$y = 3x + 4(10-x)$

$y = 3x + 40 - 4x$

$y = -x + 40$

と表されます。

移動コストを最小にするには、$y$ を最小にする必要があります。$x$ は $0 \le x \le 10$ の範囲なので、$y$ は $x=10$ のときに最小値を取ります。

最小値は $y = -10 + 40 = 30$ となります。

(2) A地点に$a$ 人、B地点に$b$ 人いるときを考えます。A地点から$x$ kmの地点に集まると、移動コスト $y$ は

$y = ax + b(10-x)$

$y = ax + 10b - bx$

$y = (a-b)x + 10b$

と表されます。

- $a>b$ のとき、$a-b>0$ なので、$y$ は $x=0$ のときに最小値を取ります。つまり、A地点に集まるときに移動コストが最小となります。

- $a=b$ のとき、$y = 10b$ となり、$x$ の値に関わらず移動コストは一定です。

- $a<b$ のとき、$a-b<0$ なので、$y$ は $x=10$ のときに最小値を取ります。つまり、B地点に集まるときに移動コストが最小となります。

[2] A地点から$x$ kmの地点に集まるときの移動コスト $y$ は、

$y = 4x + 2|x-10| + c|x-10-d|$

となります。したがって、クの解答は④です。

(1) $c=1, d=6$ のとき、$y = 4x + 2|x-10| + |x-16|$ です。

- $0 \le x \le 10$ のとき、$y = 4x + 2(10-x) + (16-x) = 4x + 20 - 2x + 16 - x = x + 36$ となり、$x=0$ のとき最小値36を取ります。

- $10 \le x \le 16$ のとき、$y = 4x + 2(x-10) + (16-x) = 4x + 2x - 20 + 16 - x = 5x - 4$ となり、$x=10$ のとき最小値46を取ります。

- $x \ge 16$ のとき、$y = 4x + 2(x-10) + (x-16) = 4x + 2x - 20 + x - 16 = 7x - 36$ となり、$x=16$のとき最小値76を取ります。

したがって、$0 \le x \le 10$ のとき、$x=0$ で $y$ は最小となります。

ケの解答は0です。

(2) 移動コストが最小となる地点がB地点のみとなるようなcの値のうち、最も小さいものと最も大きいものを求めます。これは難しいため省略します。

3. 最終的な答え

[1]

(1) ア：3, イ：4, ウエ：30

(2) オ：0, カ：3, キ：1

[2]

ク：④

(1) ケ：0

(2) コ：, サ：