与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x)dx$ (2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x)\cos x dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x)dx$

(2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x)\cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x)dx$

$\cos\frac{x}{2}$ の積分は $2\sin\frac{x}{2}$ です。

$\sin 3x$ の積分は $-\frac{1}{3}\cos 3x$ です。

したがって、

$\int (\cos\frac{x}{2} - 6\sin 3x)dx = 2\sin\frac{x}{2} + 2\cos 3x + C$

定積分は

$[2\sin\frac{x}{2} + 2\cos 3x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = (2\sin\frac{\pi}{4} + 2\cos\frac{3\pi}{2}) - (2\sin\frac{\pi}{6} + 2\cos\pi) = (2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\cdot 0) - (2\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot(-1)) = \sqrt{2} - (1-2) = \sqrt{2} + 1$

(2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\csc x + \tan x)\cos x dx$

まず、積分の中身を整理します。

$(\csc x + \tan x)\cos x = \frac{1}{\sin x}\cos x + \frac{\sin x}{\cos x}\cos x = \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x = \cot x + \sin x$

したがって、積分は

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cot x + \sin x)dx$

$\cot x$ の積分は $\ln|\sin x|$ です。

$\sin x$ の積分は $-\cos x$ です。

したがって、

$\int (\cot x + \sin x)dx = \ln|\sin x| - \cos x + C$

定積分は

$[\ln|\sin x| - \cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = (\ln|\sin\frac{\pi}{3}| - \cos\frac{\pi}{3}) - (\ln|\sin\frac{\pi}{6}| - \cos\frac{\pi}{6}) = (\ln\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) - (\ln\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \ln\frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \ln\sqrt{3} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\ln 3 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(\ln 3 - 1 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} + 1$

(2) $\frac{1}{2}(\ln 3 - 1 + \sqrt{3})$