与えられた方程式 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める。ここでは3)の場合、すなわち $f(x,y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$ で $(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $f(x, y) = 0$ が、与えられた点 $(x_0, y_0)$ の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ を持つことを示し、点 $(x_0, y_0)$ における接線を求める。ここでは3)の場合、すなわち $f(x,y) = x^{2/3} + y^{2/3} - 4$ で $(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ の場合を解く。

2. 解き方の手順

陰関数定理より、$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \ne 0$ ならば、$(x_0, y_0)$ の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ が存在する。

まず、偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{3}x^{-1/3}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}$

$(x_0, y_0) = (3\sqrt{3}, 1)$ における偏微分の値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3})^{-1/3} = \frac{2}{3}(3^{3/2})^{-1/3} = \frac{2}{3}(3^{-1/2}) = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3}(1)^{-1/3} = \frac{2}{3}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(3\sqrt{3}, 1) = \frac{2}{3} \ne 0$ なので、陰関数定理より、点 $(3\sqrt{3}, 1)$ の近傍で陰関数 $y = \varphi(x)$ が存在する。

次に、点 $(3\sqrt{3}, 1)$ における接線を求める。陰関数の微分は、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$

で与えられる。

したがって、

$\frac{dy}{dx}(3\sqrt{3}, 1) = -\frac{\frac{2}{3\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

接線の方程式は、

$y - y_0 = \frac{dy}{dx}(x_0, y_0)(x - x_0)$

$y - 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3\sqrt{3})$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 3 + 1$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$

3. 最終的な答え

陰関数 $y = \varphi(x)$ が存在し、接線の方程式は $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4$ である。