与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。

まず、積分定数$C$を除いて、$f(x) = \frac{2}{x^2 + 4}$ の不定積分を求めます。

$\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{x^2 + 2^2} dx$

ここで、$x = 2 \tan \theta$ と置換すると、$dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{(2 \tan \theta)^2 + 4} (2 \sec^2 \theta) d\theta = \int \frac{4 \sec^2 \theta}{4 \tan^2 \theta + 4} d\theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{\tan^2 \theta + 1} d\theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

$\tan \theta = \frac{x}{2}$ より、$\theta = \arctan(\frac{x}{2})$ であるから、$\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \arctan(\frac{x}{2}) + C$となります。

よって、

$\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{-2}^{2} = \arctan(\frac{2}{2}) - \arctan(\frac{-2}{2}) = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$ を計算します。

$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{8}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$ と部分分数分解すると、

$8 = A(x + 4) + B(x - 4)$

$x = 4$ のとき、$8 = 8A \implies A = 1$

$x = -4$ のとき、$8 = -8B \implies B = -1$

したがって、$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$ となります。

$\int \frac{8}{x^2 - 16} dx = \int \left(\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}\right) dx = \ln |x - 4| - \ln |x + 4| + C = \ln \left| \frac{x - 4}{x + 4} \right| + C$

$\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx = \left[ \ln \left| \frac{x - 4}{x + 4} \right| \right]_{0}^{2} = \ln \left| \frac{2 - 4}{2 + 4} \right| - \ln \left| \frac{0 - 4}{0 + 4} \right| = \ln \left| \frac{-2}{6} \right| - \ln \left| \frac{-4}{4} \right| = \ln \frac{1}{3} - \ln 1 = \ln \frac{1}{3} - 0 = \ln \frac{1}{3} = - \ln 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $-\ln 3$