家から15km離れた公園へ行く。最初は時速12kmで自転車で行き、途中から時速4kmで歩く。朝8時に家を出て、10時から10時30分までに公園に着くには、歩く道のりを何km以上何km以下にすればよいか。

1. 問題の内容

家から15km離れた公園へ行く。最初は時速12kmで自転車で行き、途中から時速4kmで歩く。朝8時に家を出て、10時から10時30分までに公園に着くには、歩く道のりを何km以上何km以下にすればよいか。

2. 解き方の手順

まず、目的地に最も早く到着する場合を考える。これは、すべて自転車で行く場合である。

自転車で15km移動するのにかかる時間は、

$15 / 12 = 1.25$ 時間 = 1時間15分である。

8時に家を出て1時間15分後に到着するので、9時15分に到着する。

次に、最も遅く到着する場合を考える。

10時30分までに到着する必要があるので、移動に2時間30分 = 2.5 時間使える。

自転車に乗る時間を $t$ 時間とすると、自転車で移動する距離は $12t$ km、歩く距離は $15-12t$ kmである。

歩く時間は $(15-12t) / 4$ 時間である。

よって、合計の移動時間は $t + (15-12t) / 4$ 時間。これが2.5時間以下でなければならない。

$t + (15-12t) / 4 \le 2.5$

$4t + 15 - 12t \le 10$

$-8t \le -5$

$t \ge 5/8 = 0.625$

歩く距離は $15-12t$ kmである。$t$の最小値は$5/8$なので、歩く距離の最大値は

$15 - 12 * (5/8) = 15 - 7.5 = 7.5$ km

次に、最も遅く出発する時間を考える。これは10時に到着する場合である。

移動に2時間使える。

自転車に乗る時間を $t$ 時間とすると、自転車で移動する距離は $12t$ km、歩く距離は $15-12t$ kmである。

歩く時間は $(15-12t) / 4$ 時間である。

よって、合計の移動時間は $t + (15-12t) / 4$ 時間。これが2時間以下でなければならない。

$t + (15-12t) / 4 = 2$

$4t + 15 - 12t = 8$

$-8t = -7$

$t = 7/8 = 0.875$

歩く距離は $15-12t$ kmである。$t=7/8$のとき、歩く距離の最小値は

$15 - 12 * (7/8) = 15 - 10.5 = 4.5$ km

3. 最終的な答え

4. 5 km以上 7.5 km以下