質量1000kgの自動車が、半径100mの円周上を速さ36km/hで等速円運動をしている。 (1) 自動車の角速度と加速度の大きさをそれぞれ求めよ。 (2) 自動車を円運動させている向心力の大きさを求めよ。また、この自動車の速さだけが72km/hに変わるとき、向心力の大きさはいくらになるか。

1. 問題の内容

質量1000kgの自動車が、半径100mの円周上を速さ36km/hで等速円運動をしている。

(1) 自動車の角速度と加速度の大きさをそれぞれ求めよ。

(2) 自動車を円運動させている向心力の大きさを求めよ。また、この自動車の速さだけが72km/hに変わるとき、向心力の大きさはいくらになるか。

2. 解き方の手順

(1) 角速度と加速度の大きさの計算

まず、速度を単位変換します。36km/hをm/sに変換します。

$36 \text{ km/h} = 36 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 10 \text{ m/s}$

角速度 $\omega$ は、速度 $v$ と半径 $r$ を用いて、$\omega = \frac{v}{r}$ で求められます。

$\omega = \frac{10 \text{ m/s}}{100 \text{ m}} = 0.1 \text{ rad/s}$

等速円運動なので、角速度は一定です。

加速度(向心加速度)の大きさ $a$ は、$a = \frac{v^2}{r}$ または $a = r\omega^2$ で求められます。

$a = \frac{(10 \text{ m/s})^2}{100 \text{ m}} = 1 \text{ m/s}^2$

(2) 向心力の大きさの計算

向心力 $F$ は、質量 $m$ と加速度 $a$ を用いて、$F = ma$ で求められます。

$F = 1000 \text{ kg} \times 1 \text{ m/s}^2 = 1000 \text{ N}$

次に、速度が72km/hに変わったときの向心力を計算します。

まず、速度を単位変換します。72km/hをm/sに変換します。

$72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}$

加速度 $a'$ は、$a' = \frac{v'^2}{r}$ で求められます。

$a' = \frac{(20 \text{ m/s})^2}{100 \text{ m}} = 4 \text{ m/s}^2$

向心力 $F'$ は、$F' = ma'$ で求められます。

$F' = 1000 \text{ kg} \times 4 \text{ m/s}^2 = 4000 \text{ N}$

3. 最終的な答え

(1) 角速度: 0.1 rad/s, 加速度の大きさ: 1 m/s^2

(2) 速度36km/hの時の向心力: 1000 N, 速度72km/hの時の向心力: 4000 N