与えられた微分方程式をラプラス変換を用いて解き、システムの安定性を判定します。 i) $\ddot{x} + 5\dot{x} + 6x = 2e^{-3t}$ 初期条件: $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$ ii) $\dot{x} + 3x = 4e^{-t}$ 初期条件: $x(0) = 0$

はい、承知いたしました。ラプラス変換を用いて与えられた微分方程式を解き、安定性を判定します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式をラプラス変換を用いて解き、システムの安定性を判定します。

i) $\ddot{x} + 5\dot{x} + 6x = 2e^{-3t}$

初期条件: $x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$

ii) $\dot{x} + 3x = 4e^{-t}$

初期条件: $x(0) = 0$

2. 解き方の手順

i) について

1. ラプラス変換を適用します。$X(s)$ を $x(t)$ のラプラス変換とします。ラプラス変換の性質より、

$\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\} = sX(s) - x(0)$

$\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\} = s^2X(s) - sx(0) - \dot{x}(0)$

$\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \frac{1}{s+a}$

初期条件を適用すると、$x(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$ なので、

$\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\} = sX(s)$

$\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\} = s^2X(s)$

2. 微分方程式のラプラス変換を計算します。

$s^2X(s) + 5sX(s) + 6X(s) = \frac{2}{s+3}$

3. $X(s)$ について解きます。

$X(s)(s^2 + 5s + 6) = \frac{2}{s+3}$

$X(s) = \frac{2}{(s+3)(s^2 + 5s + 6)} = \frac{2}{(s+3)(s+2)(s+3)} = \frac{2}{(s+2)(s+3)^2}$

4. 部分分数分解を行います。

$\frac{2}{(s+2)(s+3)^2} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3} + \frac{C}{(s+3)^2}$

$2 = A(s+3)^2 + B(s+2)(s+3) + C(s+2)$

$s = -2$ のとき: $2 = A(-2+3)^2 = A \implies A = 2$

$s = -3$ のとき: $2 = C(-3+2) = -C \implies C = -2$

$s = 0$ のとき: $2 = 9A + 6B + 2C = 18 + 6B - 4 \implies 6B = -12 \implies B = -2$

よって、$X(s) = \frac{2}{s+2} - \frac{2}{s+3} - \frac{2}{(s+3)^2}$

5. 逆ラプラス変換を行います。

$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = 2e^{-2t} - 2e^{-3t} - 2te^{-3t}$

i) について 安定性判定

伝達関数は $G(s) = \frac{2}{(s+2)(s+3)^2}$。分母の根は $s = -2, -3, -3$ であり、全ての実数部が負であるため、システムは安定です。

ii) について

1. ラプラス変換を適用します。

$sX(s) + 3X(s) = \frac{4}{s+1}$

2. $X(s)$ について解きます。

$X(s)(s+3) = \frac{4}{s+1}$

$X(s) = \frac{4}{(s+1)(s+3)}$

3. 部分分数分解を行います。

$\frac{4}{(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+3}$

$4 = A(s+3) + B(s+1)$

$s = -1$ のとき: $4 = A(-1+3) = 2A \implies A = 2$

$s = -3$ のとき: $4 = B(-3+1) = -2B \implies B = -2$

よって、$X(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{2}{s+3}$

4. 逆ラプラス変換を行います。

$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = 2e^{-t} - 2e^{-3t}$

ii) について 安定性判定

伝達関数は $G(s) = \frac{4}{(s+1)(s+3)}$。分母の根は $s = -1, -3$ であり、全ての実数部が負であるため、システムは安定です。

3. 最終的な答え

i) $x(t) = 2e^{-2t} - 2e^{-3t} - 2te^{-3t}$ (安定)

ii) $x(t) = 2e^{-t} - 2e^{-3t}$ (安定)