A, B 2つのチームが最大7回戦で優勝を争う。先に4勝したチームが優勝し、その時点で試合は打ち切られる。Aチームが1回の試合で勝つ確率が $2/3$ であるとき、どちらかのチームが優勝するまでに行われる試合数の期待値を求める。ただし、引き分けはないものとする。

1. 問題の内容

A, B 2つのチームが最大7回戦で優勝を争う。先に4勝したチームが優勝し、その時点で試合は打ち切られる。Aチームが1回の試合で勝つ確率が $2/3$ であるとき、どちらかのチームが優勝するまでに行われる試合数の期待値を求める。ただし、引き分けはないものとする。

2. 解き方の手順

試合数は4, 5, 6, 7回のいずれかである。それぞれの試合数となる確率を計算し、期待値を求める。

Aチームが優勝する確率とBチームが優勝する確率をそれぞれ計算する。

* 4試合でAチームが優勝する場合：Aが4連勝する必要があるので、確率は $(2/3)^4 = 16/81$。

* 4試合でBチームが優勝する場合：Bが4連勝する必要があるので、確率は $(1/3)^4 = 1/81$。

* 5試合でAチームが優勝する場合：4試合目までにAが3勝し、5試合目にAが勝つ必要がある。4試合中Aが3勝1敗となる組み合わせは $_4C_3=4$通り。確率は $_4C_3 (2/3)^3 (1/3) (2/3) = 4 \times (8/27) \times (1/3) \times (2/3) = 64/243$。

* 5試合でBチームが優勝する場合：4試合目までにBが3勝し、5試合目にBが勝つ必要がある。4試合中Bが3勝1敗となる組み合わせは $_4C_3 = 4$通り。確率は $_4C_3 (1/3)^3 (2/3) (1/3) = 4 \times (1/27) \times (2/3) \times (1/3) = 8/243$。

* 6試合でAチームが優勝する場合：5試合目までにAが3勝し、6試合目にAが勝つ必要がある。5試合中Aが3勝2敗となる組み合わせは $_5C_3 = 10$通り。確率は $_5C_3 (2/3)^3 (1/3)^2 (2/3) = 10 \times (8/27) \times (1/9) \times (2/3) = 160/729$。

* 6試合でBチームが優勝する場合：5試合目までにBが3勝し、6試合目にBが勝つ必要がある。5試合中Bが3勝2敗となる組み合わせは $_5C_3 = 10$通り。確率は $_5C_3 (1/3)^3 (2/3)^2 (1/3) = 10 \times (1/27) \times (4/9) \times (1/3) = 40/729$。

* 7試合でAチームが優勝する場合：6試合目までにAが3勝し、7試合目にAが勝つ必要がある。6試合中Aが3勝3敗となる組み合わせは $_6C_3 = 20$通り。確率は $_6C_3 (2/3)^3 (1/3)^3 (2/3) = 20 \times (8/27) \times (1/27) \times (2/3) = 320/2187$。

* 7試合でBチームが優勝する場合：6試合目までにBが3勝し、7試合目にBが勝つ必要がある。6試合中Bが3勝3敗となる組み合わせは $_6C_3 = 20$通り。確率は $_6C_3 (1/3)^3 (2/3)^3 (1/3) = 20 \times (1/27) \times (8/27) \times (1/3) = 160/2187$。

試合数の期待値は、

$E = 4 \times (16/81 + 1/81) + 5 \times (64/243 + 8/243) + 6 \times (160/729 + 40/729) + 7 \times (320/2187 + 160/2187)$

$= 4 \times (17/81) + 5 \times (72/243) + 6 \times (200/729) + 7 \times (480/2187)$

$= 68/81 + 360/243 + 1200/729 + 3360/2187$

$= 68/81 + 120/81 + 400/243 + 1120/729$

$= (68 \times 27 + 120 \times 27 + 400 \times 9 + 1120 \times 3) / 2187$

$= (1836 + 3240 + 3600 + 3360) / 2187$

$= 12036 / 2187 = 4012/729 \approx 5.49$

3. 最終的な答え

$\frac{4012}{729}$