5つの選択肢の中から正しいものを2つ選ぶ問題がある。 (1) 正答1つにつき6点を与え、誤答には減点がないとき、得点の期待値を求める。 (2) 正答1つにつき6点を与え、得点の期待値を0にするには、誤答1つにつき何点減点すればよいかを求める。

1. 問題の内容

5つの選択肢の中から正しいものを2つ選ぶ問題がある。

(1) 正答1つにつき6点を与え、誤答には減点がないとき、得点の期待値を求める。

(2) 正答1つにつき6点を与え、得点の期待値を0にするには、誤答1つにつき何点減点すればよいかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

5つの選択肢から2つを選ぶ組み合わせは ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りである。

正しい選択肢2つを選ぶ組み合わせは ${}_2C_2 = 1$通りである。

正しい選択肢を1つ、誤った選択肢を1つ選ぶ組み合わせは ${}_2C_1 \times {}_3C_1 = 2 \times 3 = 6$通りである。

誤った選択肢を2つ選ぶ組み合わせは ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通りである。

正答を2つ選ぶ確率は $\frac{1}{10}$ で、得点は$6 \times 2 = 12$点である。

正答を1つ選ぶ確率は $\frac{6}{10}$ で、得点は$6 \times 1 = 6$点である。

正答を0個選ぶ確率は $\frac{3}{10}$ で、得点は$6 \times 0 = 0$点である。

したがって、得点の期待値は

$12 \times \frac{1}{10} + 6 \times \frac{6}{10} + 0 \times \frac{3}{10} = \frac{12 + 36 + 0}{10} = \frac{48}{10} = 4.8$点である。

(2)

誤答1つにつき$x$点減点するとする。

正答を2つ選ぶ確率は $\frac{1}{10}$ で、得点は$12$点である。

正答を1つ、誤答を1つ選ぶ確率は $\frac{6}{10}$ で、得点は$6-x$点である。

誤答を2つ選ぶ確率は $\frac{3}{10}$ で、得点は$-2x$点である。

得点の期待値が0になるためには、

$12 \times \frac{1}{10} + (6-x) \times \frac{6}{10} + (-2x) \times \frac{3}{10} = 0$

$12 + 6(6-x) - 6x = 0$

$12 + 36 - 6x - 6x = 0$

$48 - 12x = 0$

$12x = 48$

$x = 4$

したがって、誤答1つにつき4点減点すればよい。

3. 最終的な答え

(1) 4.8点

(2) 4点