$A$円をある年の初めに借り、その年の終わりから同額ずつ$n$回で返済する。年利率を$r(>0)$とし、1年ごとの複利法とするとき、毎回の返済金額を求める。

1. 問題の内容

$A$円をある年の初めに借り、その年の終わりから同額ずつ$n$回で返済する。年利率を$r(>0)$とし、1年ごとの複利法とするとき、毎回の返済金額を求める。

2. 解き方の手順

毎回の返済額を$x$円とする。

1年後の借金の元利合計は $A(1+r)$ 円である。

1回目の返済後の借金は $A(1+r) - x$ 円となる。

2年後の借金の元利合計は $(A(1+r) - x)(1+r) = A(1+r)^2 - x(1+r)$ 円である。

2回目の返済後の借金は $A(1+r)^2 - x(1+r) - x$ 円となる。

同様に、$k$回目の返済後の借金は $A(1+r)^k - x \sum_{i=0}^{k-1} (1+r)^i$ 円となる。

$n$回目の返済後には借金はなくなるので、

$A(1+r)^n - x \sum_{i=0}^{n-1} (1+r)^i = 0$

が成り立つ。

$\sum_{i=0}^{n-1} (1+r)^i = \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r) - 1} = \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

であるから、

$A(1+r)^n - x \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0$

$A(1+r)^n = x \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

$x = \frac{A(1+r)^n r}{(1+r)^n - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{Ar(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$