プロ野球のA, B両チームの年間の対戦成績がAの18勝7敗であったとき、両チームの力に差があるといえるかを、両チームの力に差がないときAが勝つ確率が0.5であるとして、有意水準5%で検定する問題です。

1. 問題の内容

プロ野球のA, B両チームの年間の対戦成績がAの18勝7敗であったとき、両チームの力に差があるといえるかを、両チームの力に差がないときAが勝つ確率が0.5であるとして、有意水準5%で検定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定します。

* 帰無仮説: A, B両チームの力に差がない (Aが勝つ確率は0.5)

* 対立仮説: A, B両チームの力に差がある (Aが勝つ確率は0.5ではない)

(2) 統計量を計算します。

* 試行回数: $n = 18 + 7 = 25$

* Aが勝つ確率の帰無仮説: $p_0 = 0.5$

* Aが実際に勝った回数: $x = 18$

* Aが勝つ確率の標本比率: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{18}{25} = 0.72$

* 標準偏差: $\sigma = \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(1 - 0.5)}{25}} = \sqrt{\frac{0.25}{25}} = \sqrt{0.01} = 0.1$

* 検定統計量: $z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma} = \frac{0.72 - 0.5}{0.1} = \frac{0.22}{0.1} = 2.2$

(3) 有意水準と比較します。

* 有意水準: $\alpha = 0.05$ (両側検定)

* 棄却域: $z < -z_{\alpha/2}$ または $z > z_{\alpha/2}$

* 正規分布表から、$z_{0.025} \approx 1.96$

* したがって、棄却域は$z < -1.96$ または $z > 1.96$

(4) 結論

* 計算した検定統計量 $z = 2.2$ は棄却域に含まれる ($2.2 > 1.96$)。

* したがって、帰無仮説は棄却され、対立仮説を採択します。

3. 最終的な答え

A, B両チームの力に差があるといえる。