袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個、合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求める。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率と、$X=2$ となる確率を求める。 (3) $X=4$ となる確率を求め、また $X$ の期待値を求める。
2025/7/9
1. 問題の内容
袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個、合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を とする。
(1) となる確率を求める。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率と、 となる確率を求める。
(3) となる確率を求め、また の期待値を求める。
2. 解き方の手順
(1) となるのは、1回で赤玉を取り出す場合である。
赤玉は1個なので、 となる確率は、 である。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は、1回目と2回目が共に青玉である確率なので、
となるのは、青玉を2回取り出すか、赤玉を1回取り出して残りの1回は赤玉以外を取り出す場合である。
青玉を2回取り出す確率はである。
赤玉を1回取り出す確率はである。
1回目に赤玉が出て2回目に青玉または白玉が出る確率 =
1回目に青玉または白玉が出て2回目に赤玉が出る確率 =
となる確率 =
(3) となる確率を求める。
まず、となる確率を求める。
となるのは、
- 白玉3回:
- 青玉2回と赤玉以外1回:
これ以外の場合は3回以内に終了するためにはならない。
よってとなる確率は
となるのは、3回試行して赤玉、青玉2回、白玉3回のいずれの条件も満たさず、4回目に赤玉か青玉2回となる場合を考えなければならない。
になるのは、3回とも白玉が出なかった場合を考える。この時、となる確率を除外する必要がある。
3回試行後にまだ終了しない確率は、
となるのは4回目に赤玉が出るか、4回目に青玉が2回となる場合である。
の期待値を求める。
3. 最終的な答え
(1) となる確率は
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は 、 となる確率は
(3) となる確率は 、 の期待値は