袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個、合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求める。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率と、$X=2$ となる確率を求める。 (3) $X=4$ となる確率を求め、また $X$ の期待値を求める。

確率論・統計学確率期待値確率分布
2025/7/9

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個、合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を XX とする。
(1) X=1X=1 となる確率を求める。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率と、X=2X=2 となる確率を求める。
(3) X=4X=4 となる確率を求め、また XX の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) X=1X=1 となるのは、1回で赤玉を取り出す場合である。
赤玉は1個なので、X=1X=1 となる確率は、14\frac{1}{4} である。
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は、1回目と2回目が共に青玉である確率なので、
(14)×(14)=116(\frac{1}{4}) \times (\frac{1}{4}) = \frac{1}{16}
X=2X=2 となるのは、青玉を2回取り出すか、赤玉を1回取り出して残りの1回は赤玉以外を取り出す場合である。
青玉を2回取り出す確率は116\frac{1}{16}である。
赤玉を1回取り出す確率は14\frac{1}{4}である。
1回目に赤玉が出て2回目に青玉または白玉が出る確率 = 14×34=316\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}
1回目に青玉または白玉が出て2回目に赤玉が出る確率 = 34×14=316\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}
X=2X=2 となる確率 = 116+316+316=716\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}
(3) X=4X=4となる確率を求める。
まず、X=3X=3となる確率を求める。
X=3X=3となるのは、
- 白玉3回: (24)3=864=18(\frac{2}{4})^3 = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}
- 青玉2回と赤玉以外1回: (14)2×24×3=664=332(\frac{1}{4})^2 \times \frac{2}{4} \times 3 = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}
これ以外の場合は3回以内に終了するためX=3X=3にはならない。
よってX=3X=3となる確率は18+332=4+332=732\frac{1}{8} + \frac{3}{32} = \frac{4+3}{32} = \frac{7}{32}
X=4X=4となるのは、3回試行して赤玉、青玉2回、白玉3回のいずれの条件も満たさず、4回目に赤玉か青玉2回となる場合を考えなければならない。
X=4X=4になるのは、3回とも白玉が出なかった場合を考える。この時、X=3X=3となる確率を除外する必要がある。
3回試行後にまだ終了しない確率は、1P(X=1)P(X=2)P(X=3)=114716732=32814732=3321 - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{7}{16} - \frac{7}{32} = \frac{32-8-14-7}{32} = \frac{3}{32}
X=4X=4となるのは4回目に赤玉が出るか、4回目に青玉が2回となる場合である。
332×14+332×(24)0×(14)2×C(2,2)=3128\frac{3}{32} \times \frac{1}{4} + \frac{3}{32} \times (\frac{2}{4})^0 \times (\frac{1}{4})^2 \times C(2,2) = \frac{3}{128}
XXの期待値を求める。
E[X]=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=1×14+2×716+3×732+4×3128=14+1416+2132+12128=32+112+84+12128=240128=158E[X] = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{7}{16} + 3 \times \frac{7}{32} + 4 \times \frac{3}{128} = \frac{1}{4} + \frac{14}{16} + \frac{21}{32} + \frac{12}{128} = \frac{32+112+84+12}{128} = \frac{240}{128} = \frac{15}{8}

3. 最終的な答え

(1) X=1X=1 となる確率は 14\frac{1}{4}
(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は 116\frac{1}{16}X=2X=2 となる確率は 716\frac{7}{16}
(3) X=4X=4 となる確率は 3128\frac{3}{128}XX の期待値は 158\frac{15}{8}

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