2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + mx + 3m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるということは、2次関数 $y = x^2 + mx + 3m - 5$ のグラフが常に $x$ 軸よりも上にあるということです。これは、以下の2つの条件が成り立つ場合に満たされます。

* $x^2$ の係数が正であること (この場合は1なので満たされています)

* 判別式 $D$ が負であること

判別式 $D$ は、$D = m^2 - 4(3m - 5)$ で与えられます。

$D < 0$ を解きます。

$m^2 - 4(3m - 5) < 0$

$m^2 - 12m + 20 < 0$

$(m - 2)(m - 10) < 0$

したがって、$2 < m < 10$ となります。

3. 最終的な答え

$2 < m < 10$