1辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、フタのない箱を作る。 底面の正方形の1辺が6cm以上で、4つの側面の長方形の面積の和が40cm²以上になるようにするには、切り取る正方形の1辺の長さをどのような範囲にすればよいか。

1. 問題の内容

1辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、フタのない箱を作る。

底面の正方形の1辺が6cm以上で、4つの側面の長方形の面積の和が40cm²以上になるようにするには、切り取る正方形の1辺の長さをどのような範囲にすればよいか。

2. 解き方の手順

切り取る正方形の1辺の長さを $x$ cmとする。

底面の正方形の1辺の長さは $(12 - 2x)$ cmとなる。

側面の長方形の面積は $x(12 - 2x)$ cm²となる。

底面の正方形の1辺が6cm以上であることから、

$$12 - 2x \ge 6$$

$$2x \le 6$$

$$x \le 3$$

$x$ は正である必要があるため、$0 < x \le 3$となる。

4つの側面の長方形の面積の和が40cm²以上であることから、

$$4x(12 - 2x) \ge 40$$

$$x(12 - 2x) \ge 10$$

$$12x - 2x^2 \ge 10$$

$$2x^2 - 12x + 10 \le 0$$

$$x^2 - 6x + 5 \le 0$$

$$(x - 1)(x - 5) \le 0$$

$$1 \le x \le 5$$

$0 < x \le 3$ と $1 \le x \le 5$ の共通範囲は $1 \le x \le 3$ となる。

3. 最終的な答え

$1 \text{ cm} \le x \le 3 \text{ cm}$