2次関数 $y = x^2 - 4mx - 5m + 6$ のグラフと $x$ 軸の正の部分が、異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4mx - 5m + 6$ のグラフと $x$ 軸の正の部分が、異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフと $x$ 軸の正の部分が異なる2点で交わる条件は以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸の位置 $> 0$

(3) $f(0) > 0$

まず、与えられた2次関数を $f(x) = x^2 - 4mx - 5m + 6$ とおきます。

(1) 判別式 $D > 0$ について：

$D = (-4m)^2 - 4(1)(-5m+6) = 16m^2 + 20m - 24$

$16m^2 + 20m - 24 > 0$

$4m^2 + 5m - 6 > 0$

$(4m - 3)(m + 2) > 0$

$m < -2$ または $m > \frac{3}{4}$

(2) 軸の位置 $> 0$ について：

軸の位置は $x = -\frac{-4m}{2(1)} = 2m$

$2m > 0$

$m > 0$

(3) $f(0) > 0$ について：

$f(0) = 0^2 - 4m(0) - 5m + 6 = -5m + 6$

$-5m + 6 > 0$

$5m < 6$

$m < \frac{6}{5}$

(1), (2), (3) をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $m < -2$ または $m > \frac{3}{4}$

(2) $m > 0$

(3) $m < \frac{6}{5}$

これら3つの条件を満たす $m$ の範囲は $\frac{3}{4} < m < \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4} < m < \frac{6}{5}$