与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} x + 2y = 2 \\ 4x - y = 1 \end{cases} $ をクラメルの公式を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$$

\begin{cases}

x + 2y = 2 \\

4x - y = 1

\end{cases}

$$

をクラメルの公式を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を係数行列の行列式とその変数の列を定数項で置き換えた行列式の比で表すものです。

まず、係数行列とその行列式を計算します。

係数行列 $A$ は

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}

$$

です。

行列式 $|A|$ は

$$

|A| = (1)(-1) - (2)(4) = -1 - 8 = -9

$$

となります。

次に、$x$ を求めるために、$A$ の第一列を定数項ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列 $A_x$ を考えます。

$$

A_x = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

$$

行列式 $|A_x|$ は

$$

|A_x| = (2)(-1) - (2)(1) = -2 - 2 = -4

$$

となります。

したがって、$x$ は

$$

x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-4}{-9} = \frac{4}{9}

$$

となります。

同様に、$y$ を求めるために、$A$ の第二列を定数項ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列 $A_y$ を考えます。

$$

A_y = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}

$$

行列式 $|A_y|$ は

$$

|A_y| = (1)(1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7

$$

となります。

したがって、$y$ は

$$

y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-7}{-9} = \frac{7}{9}

$$

となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{9}$, $y = \frac{7}{9}$