与えられたベクトルの組$\vec{a}$と$\vec{b}$が互いに平行であるとき、実数$k$, $k_1$, $k_2$の値を求める問題です。問題Q1.18の(1)から(4)までがあります。

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組$\vec{a}$と$\vec{b}$が互いに平行であるとき、実数$k$, $k_1$, $k_2$の値を求める問題です。問題Q1.18の(1)から(4)までがあります。

2. 解き方の手順

ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$が平行であるとき、ある実数$t$を用いて、$\vec{b} = t\vec{a}$と表すことができます。この関係式を用いて、$k$, $k_1$, $k_2$を求めます。

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ k \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$の場合

$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -2 \\ k \end{pmatrix}$より、

$1 = -2t$かつ$3 = kt$。

$t = -\frac{1}{2}$を$3 = kt$に代入すると、

$3 = k(-\frac{1}{2})$

$k = -6$

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} k+1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -k \end{pmatrix}$の場合

$\begin{pmatrix} 3 \\ -k \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} k+1 \\ -2 \end{pmatrix}$より、

$3 = t(k+1)$かつ$-k = -2t$。

$k = 2t$を$3 = t(k+1)$に代入すると、

$3 = t(2t+1)$

$2t^2 + t - 3 = 0$

$(2t+3)(t-1) = 0$

$t = 1$または$t = -\frac{3}{2}$

$t = 1$のとき、$k = 2t = 2$

$t = -\frac{3}{2}$のとき、$k = 2t = -3$

(3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2k_1 - k_2 \\ 3 \end{pmatrix}$の場合

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2k_1 - k_2 \\ 3 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix}$より、

$1 = -2t$, $2k_1 - k_2 = 4t$, $3 = t(k_1 + 2k_2)$

$t = -\frac{1}{2}$を$2k_1 - k_2 = 4t$に代入すると、

$2k_1 - k_2 = 4(-\frac{1}{2}) = -2$

$2k_1 - k_2 = -2$

$t = -\frac{1}{2}$を$3 = t(k_1 + 2k_2)$に代入すると、

$3 = -\frac{1}{2}(k_1 + 2k_2)$

$k_1 + 2k_2 = -6$

連立方程式

$2k_1 - k_2 = -2$

$k_1 + 2k_2 = -6$

を解く。$2k_1 - k_2 = -2$より、$k_2 = 2k_1 + 2$。これを$k_1 + 2k_2 = -6$に代入すると、

$k_1 + 2(2k_1 + 2) = -6$

$k_1 + 4k_1 + 4 = -6$

$5k_1 = -10$

$k_1 = -2$

$k_2 = 2k_1 + 2 = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2$

(4) $\vec{a} = \begin{pmatrix} k_1 - k_2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ k_1 + k_2 \end{pmatrix}$の場合

$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ k_1 + k_2 \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} k_1 - k_2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$より、

$0 = t(k_1 - k_2)$, $3 = 2t$, $k_1 + k_2 = t$

$t = \frac{3}{2}$を$k_1 + k_2 = t$に代入すると、$k_1 + k_2 = \frac{3}{2}$

$t = \frac{3}{2}$を$0 = t(k_1 - k_2)$に代入すると、$0 = \frac{3}{2}(k_1 - k_2)$

よって、$k_1 - k_2 = 0$。つまり、$k_1 = k_2$

$k_1 + k_2 = \frac{3}{2}$に$k_1 = k_2$を代入すると、$2k_1 = \frac{3}{2}$より、$k_1 = \frac{3}{4}$

$k_2 = k_1 = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $k = -6$

(2) $k = 2$または$k = -3$

(3) $k_1 = -2$, $k_2 = -2$

(4) $k_1 = \frac{3}{4}$, $k_2 = \frac{3}{4}$