4次元ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ によって張られる空間 $L = L(\vec{a}, \vec{b})$ は、どのような点の集まりであるかを定義する。

1. 問題の内容

4次元ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ によって張られる空間 $L = L(\vec{a}, \vec{b})$ は、どのような点の集まりであるかを定義する。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ によって張られる空間 $L$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表されるベクトルの集合です。すなわち、$L$ に属する任意のベクトル $\vec{x}$ は、ある実数 $s, t$ を用いて次のように表すことができます。

$\vec{x} = s\vec{a} + t\vec{b}$

具体的に成分で表すと、

$\vec{x} = s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s - t \\ s \\ 2t \\ s + 2t \end{pmatrix}$

したがって、空間 $L$ は、$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s - t \\ s \\ 2t \\ s + 2t \end{pmatrix}$ の形で表される4次元ベクトルの集合です。

3. 最終的な答え

4次元ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ によって張られる空間 $L$ は、実数 $s, t$ を用いて $\vec{x} = s\vec{a} + t\vec{b} = \begin{pmatrix} 2s - t \\ s \\ 2t \\ s + 2t \end{pmatrix}$ と表される4次元ベクトルの集合である。