男子4人と女子4人がいる。この8人を一列に並べるとき、両端のうち少なくとも一方が男子である並べ方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

男子4人と女子4人がいる。この8人を一列に並べるとき、両端のうち少なくとも一方が男子である並べ方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、8人全員を並べる場合の総数を計算する。

これは $8!$ 通りである。

次に、両端がともに女子である場合の数を計算する。

まず、両端に女子を配置する方法は $4 \times 3 = 12$ 通り。

次に、残りの6人を並べる方法は $6!$ 通り。

したがって、両端がともに女子である場合の数は $12 \times 6!$ 通りである。

「両端のうち少なくとも一方が男子である」場合の数は、

「全員を並べる総数」から「両端がともに女子である場合の数」を引けば求められる。

つまり、

$8! - 12 \times 6!$

$= 8 \times 7 \times 6! - 12 \times 6!$

$= (8 \times 7 - 12) \times 6!$

$= (56 - 12) \times 6!$

$= 44 \times 6!$

$= 44 \times 720$

$= 31680$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

31680 通り