2次方程式 $x^2 + 2px + p = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -9$ となる定数 $p$ の値を求めよ。ただし、$p \neq 0$ とする。

## 問題120

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2px + p = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -9$ となる定数 $p$ の値を求めよ。ただし、$p \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、

$$\alpha + \beta = -2p$$

$$\alpha \beta = p$$

次に、与えられた条件 $\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -9$ を変形する。

$$\frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = -9$$

ここで、$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$ であるから、

$$\frac{(\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)}{\alpha \beta} = -9$$

解と係数の関係を代入すると、

$$\frac{(-2p)((-2p)^2 - 3p)}{p} = -9$$

$p \neq 0$ より、分母の $p$ を払って、

$$-2(4p^2 - 3p) = -9$$

$$8p^2 - 6p - 9 = 0$$

これを解くと、

$$p = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 8 \cdot 9}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{16} = \frac{6 \pm 18}{16}$$

$$p = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, \quad p = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

$p = \frac{3}{2}, -\frac{3}{4}$

## 問題121

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の1つの解が $2 + 3i$ であるとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

係数が実数である2次方程式なので、複素数解を持つ場合、共役複素数も解となる。したがって、もう一つの解は $2 - 3i$ である。

解と係数の関係より、

$$(2 + 3i) + (2 - 3i) = -a$$

$$(2 + 3i)(2 - 3i) = b$$

したがって、

$$4 = -a \Rightarrow a = -4$$

$$4 + 9 = b \Rightarrow b = 13$$

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 13$, 他の解は $2 - 3i$