与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。 (3) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

(3) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を消去法で解く。

拡大行列 $(A | \vec{b})$ を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$

第2行から第1行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$

第3行に第1行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 7 & 3 & | & 2 \end{pmatrix}$

第3行に第2行の7/2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 2 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -1/2 & | & -3/2 \end{pmatrix}$

これから、

$-\frac{1}{2}z = -\frac{3}{2} \implies z = 3$

$-2y - z = -1 \implies -2y - 3 = -1 \implies -2y = 2 \implies y = -1$

$x + 3y = 2 \implies x + 3(-1) = 2 \implies x - 3 = 2 \implies x = 5$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ を行基本変形によって求める。

$(A | I)$ の拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第1行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行に第1行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & | & -1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 7 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行から第2行の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & | & -1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1/2 & | & -5/2 & 7/2 & 1 \end{pmatrix}$

第3行を-2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3/2 & | & -1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

第1行に第3行の3/2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

第2行から第3行の1/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

(3) 連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{b}$ を(2)で求めた逆行列を用いて解く。

$\vec{x} = A^{-1}\vec{b} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 - 9 + 0 \\ -4 + 3 + 0 \\ 10 - 7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -9 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -7 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$