生徒4人と先生3人がいる。[1](1)7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方の数。(2)7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方の数。(3)7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方の数。(4)7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方の数。[2](1)A地点からB地点までの最短経路の数。(2)A地点からP地点を通ってB地点まで行く最短経路の数。

1. 問題の内容

生徒4人と先生3人がいる。[1](1)7人が1列に並ぶとき、生徒4人が隣り合う並び方の数。(2)7人が1列に並ぶとき、先生どうしが隣り合わない並び方の数。(3)7人の中から生徒2人と先生2人を選ぶ選び方の数。(4)7人の中から3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方の数。[2](1)A地点からB地点までの最短経路の数。(2)A地点からP地点を通ってB地点まで行く最短経路の数。

2. 解き方の手順

[1](1)生徒4人をひとまとめにして1人と数え、先生3人と合わせて4人を並べる順列は4!通り。生徒4人の中での並び方は4!通り。よって、4! * 4! = 24 * 24 = 576通り。

[1](2)生徒4人を先に並べ、その間または両端の5ヶ所から先生3人が並ぶ場所を選ぶ。生徒4人の並び方は4!通り。5ヶ所から3ヶ所を選ぶ組み合わせは$_{5}C_{3}$通り。先生3人の並び方は3!通り。よって、4! * $_{5}C_{3}$ * 3! = 24 * 10 * 6 = 1440通り。

[1](3)生徒2人を選ぶ方法は$_{4}C_{2}$通り。先生2人を選ぶ方法は$_{3}C_{2}$通り。よって、$_{4}C_{2}$ * $_{3}C_{2}$ = (4*3/2*1) * (3*2/2*1) = 6 * 3 = 18通り。

[1](4)3人を選ぶとき、少なくとも1人は先生である選び方は、3人全て生徒である選び方以外の場合の数である。7人から3人を選ぶ方法は$_{7}C_{3}$ = (7*6*5)/(3*2*1) = 35通り。3人全て生徒である選び方は$_{4}C_{3}$ = 4通り。よって、35 - 4 = 31通り。

[2](1)A地点からB地点までの最短経路は、右に5回、上に3回進む必要がある。これは8回の移動のうち、右に進む5回を選ぶことに等しい。よって、$_{8}C_{5}$ = (8*7*6)/(3*2*1) = 56通り。

[2](2)A地点からP地点までの最短経路は、右に2回、上に1回進む必要がある。これは3回の移動のうち、右に進む2回を選ぶことに等しい。よって、$_{3}C_{2}$ = 3通り。P地点からB地点までの最短経路は、右に3回、上に2回進む必要がある。これは5回の移動のうち、右に進む3回を選ぶことに等しい。よって、$_{5}C_{3}$ = (5*4)/(2*1) = 10通り。したがって、A地点からP地点を通ってB地点まで行く最短経路は3 * 10 = 30通り。

3. 最終的な答え

[1](1) 576

[1](2) 1440

[1](3) 18

[1](4) 31

[2](1) 56

[2](2) 30