問題8は、角運動量に関する一連の問題です。具体的には、角運動量ベクトルの定義式、各成分の表現、極座標での表現、中心力下での角運動量保存、運動が二次元平面に限定されること、面積速度一定、そして角運動量の次元が「エネルギー×時間」に等しいことを示すことが求められています。

1. 問題の内容

問題8は、角運動量に関する一連の問題です。具体的には、角運動量ベクトルの定義式、各成分の表現、極座標での表現、中心力下での角運動量保存、運動が二次元平面に限定されること、面積速度一定、そして角運動量の次元が「エネルギー×時間」に等しいことを示すことが求められています。

2. 解き方の手順

(1) 角運動量ベクトルの定義式

角運動量ベクトル $\mathbf{L}$ は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ と運動量ベクトル $\mathbf{p}$ の外積として定義されます。

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

(2) 角運動量ベクトルの成分

$\mathbf{r} = (x, y, z)$, $\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z)$ とすると、

$L_x = yp_z - zp_y$

$L_y = zp_x - xp_z$

$L_z = xp_y - yp_x$

(3) 角運動量の z 成分の極座標表示

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。運動量は $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ であり、$v_x = \dot{x}$, $v_y = \dot{y}$ です。ここで、ドットは時間微分を表します。よって、

$p_x = m\dot{x} = m(\dot{r}\cos\theta - r\dot{\theta}\sin\theta)$

$p_y = m\dot{y} = m(\dot{r}\sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta)$

$L_z = xp_y - yp_x = mr^2\dot{\theta}$

(4) 中心力下での角運動量保存の証明

中心力 $\mathbf{F}$ は原点からの距離のみに依存し、$\mathbf{F} = F(r) \frac{\mathbf{r}}{r}$ と表されます。トルク $\mathbf{N}$ は $\mathbf{N} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ で与えられます。中心力の場合、$\mathbf{r}$ と $\mathbf{F}$ は平行なので、$\mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0$ となり、トルクはゼロです。角運動量の時間変化はトルクに等しいので、$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{N} = 0$ となり、角運動量は時間的に一定（保存）されます。

(5) 中心力下での運動が二次元平面上で行われることの証明

角運動量ベクトル $\mathbf{L}$ が保存されることから、その方向は一定です。位置ベクトル $\mathbf{r}$ と運動量ベクトル $\mathbf{p}$ は常に $\mathbf{L}$ に垂直な平面上になければなりません。したがって、運動は常にこの平面上で行われます。

(6) 中心力下での面積速度一定の証明

面積速度は $\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}$ で与えられます。角運動量の z 成分は $L_z = mr^2\dot{\theta}$ であり、これが保存されることから、面積速度 $\frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{L_z}{2m}$ も一定です。

(7) 角運動量の次元が「エネルギー×時間」に等しいことの証明

角運動量の次元は $[L] = [\mathbf{r} \times \mathbf{p}] = [\text{length}] \times [\text{mass} \times \text{velocity}] = ML^2T^{-1}$ です。

エネルギーの次元は $[E] = [\text{kinetic energy}] = \frac{1}{2}mv^2 = ML^2T^{-2}$ であり、時間の次元は $[T] = T$ です。

したがって、$[E \times T] = ML^2T^{-2} \times T = ML^2T^{-1}$ となり、角運動量の次元と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

(2)

$L_x = yp_z - zp_y$

$L_y = zp_x - xp_z$

$L_z = xp_y - yp_x$

(3) $L_z = mr^2\dot{\theta}$

(4) 中心力下ではトルクがゼロなので、角運動量は保存されます。

(5) 角運動量ベクトルが保存されるため、運動は常に一定の平面上で行われます。

(6) 角運動量が保存されるため、面積速度は一定です。

(7) 角運動量の次元はエネルギー×時間の次元に等しいです。