袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。このとき、赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。 (1) $m=4$となる確率を求めよ。 (2) $mn=6$となる確率を求めよ。 (3) $mn$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉1個、青玉1個の合計4個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻すことを4回繰り返す。このとき、赤玉を取り出した回数を$m$回、取り出した玉の色の種類の数を$n$種類とする。

(1) $m=4$となる確率を求めよ。

(2) $mn=6$となる確率を求めよ。

(3) $mn$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $m=4$となるのは、4回とも赤玉を取り出す場合である。

赤玉を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$である。

したがって、$m=4$となる確率は、$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$である。

(2) $mn=6$となる場合を考える。$m$と$n$は整数であるから、$mn=6$となる組み合わせは、$(m,n) = (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)$である。

しかし、$n$は取り出した色の種類の数なので、$1 \le n \le 3$である。また、$m$は赤玉を取り出した回数なので、$0 \le m \le 4$である。

したがって、$mn=6$となるのは、$(m,n) = (2,3), (3,2)$の場合である。

(i) $(m,n) = (2,3)$の場合:

赤玉を2回、他の2色をそれぞれ1回ずつ取り出す。

赤玉を2回取り出すパターンは$_4C_2 = 6$通り。

赤玉以外の2色(白と青)から2つの色を選ぶのは1通り。

したがって、確率は$6 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$

他の方法：

取り出した色の種類が3種類なので、取り出した色は赤、白、青である。このうち赤玉を2回取り出しているので、残り2回は白と青を1回ずつ取り出す必要がある。

まず、赤玉を2回取り出す場合の数は、$_4C_2 = 6$通りである。

次に、残り2回のうち1回で白玉を取り出し、もう1回で青玉を取り出す場合の数は2! = 2通りである。

したがって、確率は$\frac{6 \times 2}{4^4} \times 2^2 \times 1 \times 1 = 6 \times \frac{2}{256} \times 4 = \frac{48}{256} = \frac{3}{16}$

赤玉2回、白玉1回、青玉1回の並べ方は$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$通り

確率は $12 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = 12 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(ii) $(m,n) = (3,2)$の場合:

赤玉を3回、残りの1色を1回取り出す。

赤玉を3回取り出すパターンは$_4C_3 = 4$通り。

赤玉以外の2色(白と青)から1つの色を選ぶのは2通り。

したがって、確率は$4 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$

したがって、求める確率は$\frac{3}{64} + \frac{1}{16} = \frac{3}{64} + \frac{4}{64} = \frac{7}{64}$

(3) $mn$の期待値を求める。

$n$の取りうる値は1, 2, 3。$m$の取りうる値は0, 1, 2, 3, 4。

$mn$の取りうる値を表にまとめる。

$m=0$のとき、$n=1$。

$m=1$のとき、$n=2$。

$m=2$のとき、$n=2$または3。

$m=3$のとき、$n=2$または3。

$m=4$のとき、$n=1$。

$P(m=0) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

$P(m=1) = {}_4 C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(m=2) = {}_4 C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$P(m=3) = {}_4 C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^1 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(m=4) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

$P(n=1) = P(m=0) + P(m=4) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$E(mn) = \sum_{m=0}^4 \sum_{n=1}^3 mnP(m,n)$

まず、$n$の値について考察する。

$n=1$になるのは、$m=0$か$m=4$のときである。

$n=2$になるのは、$m=1,2,3$のときで、取り出す色が赤と白、または赤と青の時。

$n=3$になるのは、$m=1,2,3$のときで、取り出す色が赤、白、青の時。

しかし、上記の表を完成させるのは難しいので、別の方法を考える。

$E(m) = \sum_{m=0}^4 mP(m) = 0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4} + \frac{6}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{8} + \frac{6}{8} + \frac{6}{8} + \frac{2}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$E(n) = \sum_{n=1}^3 nP(n)$を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{7}{64}$

(3) 3.5