高校2年生40人のクラスで、ハンドボール投げの飛距離を一人2回ずつ測定した。39人分のデータが散布図と表で与えられている。 (1) 1回目と2回目のデータの相関係数を求める。 (2) 欠席者の記録(1回目: 24.7m, 2回目: 26.9m)を含めたときの新しい共分散をA、元の共分散をB、新しい相関係数をC、元の相関係数をDとする。AとBの大小関係、CとDの大小関係を比較する。

1. 問題の内容

高校2年生40人のクラスで、ハンドボール投げの飛距離を一人2回ずつ測定した。39人分のデータが散布図と表で与えられている。

(1) 1回目と2回目のデータの相関係数を求める。

(2) 欠席者の記録(1回目: 24.7m, 2回目: 26.9m)を含めたときの新しい共分散をA、元の共分散をB、新しい相関係数をC、元の相関係数をDとする。AとBの大小関係、CとDの大小関係を比較する。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数 $r$ は、共分散 $s_{xy}$ をそれぞれの標準偏差 $s_x$、$s_y$ で割ることで求められる。

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$

問題文より、

1回目のデータの標準偏差 $s_x = 8.21$

2回目のデータの標準偏差 $s_y = 6.98$

共分散 $s_{xy} = 54.30$

したがって、相関係数 $D$は、

$D = \frac{54.30}{8.21 \times 6.98} = \frac{54.30}{57.3058} \fallingdotseq 0.9475$

四捨五入して小数第2位まで求めると、相関係数は0.95である。

(2)

欠席者のデータ(24.7, 26.9)を加える前後で共分散がどう変化するかを考える。

元の39人のデータによる共分散をBとする。欠席者のデータは1回目の平均と等しく、2回目の平均ともほぼ等しい。共分散は偏差積の平均なので、新たなデータが平均付近の値である場合、共分散への影響は小さい。

新しい共分散をAとする。欠席者のデータは、1回目の平均値24.70と完全に一致し、2回目の平均値26.90と完全に一致する。共分散の式から、$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$であり、欠席者のデータを含めた場合は、$n=40$、欠席者のデータを加えることで分子$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$は少し変化するが、40で割ることになるので、共分散はほとんど変わらないと考えられる。つまり、AとBはほぼ等しい。

ただし、欠席者のデータのx座標が平均と等しいから、$x_i - \bar{x}=0$となり、データの追加は、$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$に0を加えることになるので、共分散の分子は変化しない。しかし、$n$が39から40に変化するので、新しい共分散Aは元の共分散Bよりも小さくなる。つまり、$A < B$。

相関係数は共分散を標準偏差の積で割ったものなので、共分散が小さくなれば、相関係数も小さくなる傾向にある。ただし、標準偏差も変化するので、一概には言えないが、共分散の影響が大きければ、$C < D$。

3. 最終的な答え

(1) 0.95

(2) A < B, C < D