高校2年生40人のクラスで、一人2回ずつハンドボール投げの飛距離を測定したデータに関する問題です。39人のデータが与えられており、その平均値、中央値、分散、標準偏差、共分散が表に示されています。 (1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を求めます。 (2) 欠席していた生徒の記録を含めて計算し直したときの共分散と相関係数が、元の共分散と相関係数と比べてどう変化するかを比較します。

1. 問題の内容

高校2年生40人のクラスで、一人2回ずつハンドボール投げの飛距離を測定したデータに関する問題です。39人のデータが与えられており、その平均値、中央値、分散、標準偏差、共分散が表に示されています。

(1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を求めます。

(2) 欠席していた生徒の記録を含めて計算し直したときの共分散と相関係数が、元の共分散と相関係数と比べてどう変化するかを比較します。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数の計算

相関係数 $r$ は、共分散 $Cov(x, y)$、1回目のデータの標準偏差 $s_x$、2回目のデータの標準偏差 $s_y$ を用いて、以下の式で計算できます。

$r = \frac{Cov(x, y)}{s_x s_y}$

問題文より、

$Cov(x, y) = 54.30$

$s_x = 8.21$

$s_y = 6.98$

したがって、

$r = \frac{54.30}{8.21 \times 6.98} = \frac{54.30}{57.3058} \approx 0.9475$

四捨五入して小数第2位まで求めると、0.95となります。

(2) 共分散と相関係数の変化

欠席していた生徒の記録 (24.7, 26.9) は、1回目と2回目のデータのそれぞれの平均値 (24.7, 26.9) と等しいです。

* 共分散の変化：

共分散は、各データが平均値からどれだけ離れているかの積の平均です。新しいデータが平均値と一致する場合、そのデータの追加は共分散にほとんど影響を与えません。正確には、もともとのデータの平均と新たなデータの値が一致するので、共分散は変化しません。したがって、$A = B$ です。

* 相関係数の変化：

相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差で割ったものです。共分散が変わらないとしても、標準偏差が変わる可能性はあります。しかし、この問題では、新しいデータがそれぞれの平均値と一致しているので、標準偏差もほとんど変化しません（実際には、データが一つ増えるので、わずかに変化します）。

40個のデータの平均値も元の39個のデータの平均値と変わらないため、分散は減少します。分散の平方根である標準偏差も減少します。したがって、相関係数の分母が小さくなるので、相関係数自体は増加します。$C > D$です。

3. 最終的な答え

(1) 相関係数：0.95

(2) AとBの大小関係：A = B

　　CとDの大小関係：C > D