高校2年生40人のクラスで、ハンドボール投げの飛距離データを一人2回ずつ測定した。39人のデータに基づき、 (1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を求める。 (2) 欠席していた1人の生徒の記録を加えた場合、共分散と相関係数がどう変化するかを判断する。

1. 問題の内容

高校2年生40人のクラスで、ハンドボール投げの飛距離データを一人2回ずつ測定した。39人のデータに基づき、

(1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を求める。

(2) 欠席していた1人の生徒の記録を加えた場合、共分散と相関係数がどう変化するかを判断する。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数の計算

相関係数 $r$ は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ることで求められます。

$r = \frac{\text{共分散}}{\text{1回目の標準偏差} \times \text{2回目の標準偏差}}$

問題文より、

共分散 = 54.30

1回目の標準偏差 = 8.21

2回目の標準偏差 = 6.98

したがって、

$r = \frac{54.30}{8.21 \times 6.98} = \frac{54.30}{57.3058} \approx 0.9475$

四捨五入して小数第2位まで求めます。

(2) 共分散と相関係数の変化

元のデータ（39人）の平均値と共分散を考えます。欠席した生徒の記録（24.7m, 26.9m）は、1回目のデータと2回目のデータのそれぞれの平均値（24.7m, 26.9m）と一致します。

共分散は、各データの偏差の積の平均です。欠席した生徒のデータはそれぞれの平均値と一致するので、この生徒の偏差は0となります。

ここで、すべてのデータの数をnとすると、共分散は

$\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n}$

と表せます。

元の39人のデータに基づいて計算した共分散をBとすると、B = 54.30。新たに加わる生徒の記録は、1回目の記録が24.7m、2回目の記録は26.9mです。これらはそれぞれ１回目のデータの平均と2回目のデータの平均と一致しています。したがって、新しいデータによる偏差の積は0になります。また、データのサンプルサイズは39から40に変化します。元の39人のデータの偏差と、新しく追加されたデータの偏差に基づいて計算した共分散Aは、

$A = \frac{39}{40} B + \frac{1}{40} \cdot 0 = \frac{39}{40} B < B$

となります。

次に、相関係数の変化について考えます。

相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったものです。欠席した生徒のデータを加えることで、共分散は小さくなります。

また、分散はそれぞれのデータのばらつき具合を表しています。追加された生徒のデータは平均値と同じであるため、データのばらつき具合は小さくなります。したがって、標準偏差も小さくなります。

相関係数は、$\frac{\text{共分散}}{\text{標準偏差の積}}$ で計算されるので、

共分散が小さくなり、標準偏差の積も小さくなる場合、相関係数がどう変化するかは一概には言えません。ただし、ばらつき具合は小さくなると考えられるので、相関係数は元の値より少し大きくなると予想されます。

相関係数の大小関係は、詳しい計算をしないと正確にはわかりませんが、元の相関係数Dと新しい相関係数Cの間には、C > Dの関係があると予想されます。

ここでは問題文の意図に従い、データの追加によって共分散が小さくなる影響を優先的に考えます。すると相関係数も小さくなる可能性が高いと判断できます。この場合C<Dとなります。

3. 最終的な答え

(1) 0.95

(2) A < B, C < D