ある高校2年生40人のクラスで、一人2回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを取った。欠席者がいたため、データは39人分である。1回目のデータと2回目のデータの散布図と、平均値、中央値、分散、標準偏差、共分散が与えられている。 (1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を小数第2位まで求めよ。 (2) 欠席していた生徒の記録(1回目: 24.7m, 2回目: 26.9m)を含めて計算し直したときの新しい共分散をA、もとの共分散をB、新しい相関係数をC、もとの相関係数をDとする。AとBの大小関係、CとDの大小関係を求めよ。

1. 問題の内容

ある高校2年生40人のクラスで、一人2回ずつハンドボール投げの飛距離のデータを取った。欠席者がいたため、データは39人分である。1回目のデータと2回目のデータの散布図と、平均値、中央値、分散、標準偏差、共分散が与えられている。

(1) 1回目のデータと2回目のデータの相関係数を小数第2位まで求めよ。

(2) 欠席していた生徒の記録(1回目: 24.7m, 2回目: 26.9m)を含めて計算し直したときの新しい共分散をA、もとの共分散をB、新しい相関係数をC、もとの相関係数をDとする。AとBの大小関係、CとDの大小関係を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ることで求められる。

相関係数 $r$ は以下の式で計算できる。

$r = \frac{共分散}{1回目の標準偏差 \times 2回目の標準偏差}$

与えられた値から、相関係数を計算する。

(2)

共分散の定義式を考える。

共分散は、$Cov(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$で表される。

新しい共分散Aと元の共分散Bの大小関係を比較するために、新しいデータの追加が共分散にどのような影響を与えるかを考える。

相関係数は、$\rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$で表される。

新しい相関係数Cと元の相関係数Dの大小関係を比較するために、平均、標準偏差、共分散がどのように変化するかを考える。

具体的に、欠席していた生徒のデータが平均値に近い場合、分散は小さくなる傾向がある。相関係数は共分散を標準偏差で割ったものなので、標準偏差の変化も考慮する必要がある。

欠席していた生徒の記録が平均値に近いため、データ全体のばらつきは小さくなる。つまり、1回目と2回目のデータの標準偏差が小さくなる。

また、新しいデータは元のデータの平均値に近い場所にプロットされるため、共分散はあまり変化しないか、もしくは平均値に近いため小さくなる可能性がある。

AとBの比較：

欠席していた生徒のデータは、1回目の平均値(24.7)と2回目の平均値(26.9)に一致する。このため、共分散を計算する際に、この生徒の偏差の積は0になる。つまり、共分散への寄与は0である。したがって、新しい共分散Aは、元の共分散Bと比べて、わずかに小さくなる可能性がある。

$A < B$

CとDの比較：

新しいデータによって標準偏差が小さくなると考えられる。

相関係数は、$r = \frac{共分散}{\sigma_x \sigma_y}$であるから、共分散がわずかに小さくなる、もしくは変化しないとしても、$\sigma_x \sigma_y$が小さくなる影響の方が大きければ、$r$は大きくなる。

ただし、欠席していた生徒の1回目のデータと2回目のデータがそれぞれの平均値と一致しているため、標準偏差は小さくなるが、共分散も小さくなる。

どちらの影響が大きいか不明なため、正確な判断は難しい。

しかし、与えられたデータから、1回目の標準偏差(8.21)と2回目の標準偏差(6.98)の積に対する共分散(54.30)の割合は比較的小さい。

新しいデータは平均値に近いので、標準偏差の減少は共分散の減少よりも大きいと考えられる。

したがって、相関係数は大きくなる可能性がある。

$C > D$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数: $r = \frac{54.30}{8.21 \times 6.98} = \frac{54.30}{57.3058} \approx 0.9475$

四捨五入して小数第2位まで求めると、0.95

(2) $A < B$

$C > D$