7枚のカード（1から7の番号付き）から1枚を引き、番号を確認後、カードを元に戻す、という試行を2回行う。1回目に引いたカードの番号を$X$、2回目に引いたカードの番号を$Y$とする。 (1) $X+Y$が偶数になる確率、および$XY$が奇数になる確率を求める。 (2) $XY$が4の倍数になる確率を求める。 (3) $X+Y$が偶数であるとき、$XY$が4の倍数になる条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

7枚のカード（1から7の番号付き）から1枚を引き、番号を確認後、カードを元に戻す、という試行を2回行う。1回目に引いたカードの番号を$X$、2回目に引いたカードの番号を$Y$とする。

(1) $X+Y$が偶数になる確率、および$XY$が奇数になる確率を求める。

(2) $XY$が4の倍数になる確率を求める。

(3) $X+Y$が偶数であるとき、$XY$が4の倍数になる条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X+Y$が偶数になるのは、$X$と$Y$がともに偶数、または$X$と$Y$がともに奇数の場合である。

$X$と$Y$がともに偶数である確率は、$\frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{49}$

$X$と$Y$がともに奇数である確率は、$\frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$

したがって、$X+Y$が偶数である確率は、$\frac{9}{49} + \frac{16}{49} = \frac{25}{49}$

$XY$が奇数になるのは、$X$と$Y$がともに奇数の場合である。これは上記の計算で求めているので、$\frac{16}{49}$

(2) $XY$が4の倍数になるのは、

(i) $X$または$Y$のどちらかが4の倍数である場合。$X=4$の場合、Yは任意なので確率は$\frac{1}{7}$。$Y=4$の場合も同様に確率は$\frac{1}{7}$。両方4の時は重複するので、$\frac{1}{7} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{49}$を引く。

(ii) $X$と$Y$がともに偶数の場合で、少なくとも一方が4の倍数である場合。$X=2, Y=6$または$X=6, Y=2$の場合。

(iii) $X$と$Y$がともに偶数で、片方が2、もう片方が6の場合。

別の考え方:

$XY$が4の倍数にならないのは、

(i) $X$と$Y$がともに奇数の場合：$\frac{4}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$

(ii) $X$と$Y$の一方が奇数で、もう一方が2または6の場合：奇数が$X$の場合、$\frac{4}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{49}$。奇数が$Y$の場合も同様に$\frac{8}{49}$。合計で$\frac{16}{49}$

したがって、$XY$が4の倍数でない確率は、$\frac{16}{49} + \frac{16}{49} = \frac{32}{49}$

よって、$XY$が4の倍数である確率は、$1 - \frac{32}{49} = \frac{17}{49}$

(3) $X+Y$が偶数であるという条件の下で、$XY$が4の倍数である確率を求める。

$X+Y$が偶数である確率は(1)で求めたように$\frac{25}{49}$。

$X+Y$が偶数で、$XY$が4の倍数となる場合を考える。

$X+Y$が偶数になるのは、$X,Y$がともに偶数、または$X,Y$がともに奇数の場合。

$X,Y$がともに奇数の場合、$XY$は奇数なので4の倍数にはならない。

$X,Y$がともに偶数の場合、$XY$が4の倍数になるのは、$X$または$Y$が4の倍数（4のみ）であるか、または$X,Y$がともに2または6の場合。

(i)片方が4の時、もう片方は2か6。2通りの場合があるので、$\frac{1}{7} \times \frac{2}{7} \times 2 = \frac{4}{49}$

(ii)両方とも2か6の時、

X,Y = 2,6または6,2の時。 2/7 * 1/7 = 2/49になる確率。これの順列なので2/49 *2!

つまり$\frac{4}{49}$

$P(XYが4の倍数|X+Yが偶数) = \frac{P(XYが4の倍数 かつ X+Yが偶数)}{P(X+Yが偶数)}$

$= \frac{\frac{4}{49} + \frac{4}{49}}{\frac{25}{49}} = \frac{\frac{8}{49}}{\frac{25}{49}} = \frac{8}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{49}$, $\frac{16}{49}$

(2) $\frac{17}{49}$

(3) $\frac{8}{25}$