二項分布 $B(4, \frac{1}{6})$ の確率分布表を作成する問題です。

1. 問題の内容

二項分布 $B(4, \frac{1}{6})$ の確率分布表を作成する問題です。

2. 解き方の手順

二項分布 $B(n, p)$ において、$n$ は試行回数、$p$ は成功確率を表します。この問題では、$n=4$、$p=\frac{1}{6}$ です。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、$X=k$ となる確率 $P(X=k)$ は、以下の式で計算されます。

$P(X=k) = {}_nC_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、${}_nC_k$ は二項係数であり、次のように計算されます。

${}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

この問題では、$k = 0, 1, 2, 3, 4$ について、$P(X=k)$ を計算し、表にまとめます。

* $P(X=0) = {}_4C_0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^4 = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$

* $P(X=1) = {}_4C_1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^3 = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^3 = 4 \cdot \frac{125}{1296} = \frac{500}{1296}$

* $P(X=2) = {}_4C_2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot (\frac{5}{6})^2 = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296}$

* $P(X=3) = {}_4C_3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = 4 \cdot \frac{5}{1296} = \frac{20}{1296}$

* $P(X=4) = {}_4C_4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}$

確率分布表は以下のようになります。

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

|-----|--------|--------|--------|--------|--------|

| $P(X)$ | 625/1296 | 500/1296 | 150/1296 | 20/1296 | 1/1296 |

3. 最終的な答え

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

|-----|--------|--------|--------|--------|--------|

| $P(X)$ | 625/1296 | 500/1296 | 150/1296 | 20/1296 | 1/1296 |