4人でじゃんけんを繰り返し、ただ一人の勝者が決まるまで行う。負けた人は次の回以降参加しない。 (1) 1回目で3人が勝ち、1人だけ負ける確率を求める。 (2) 2回目でただ1人の勝者が決まる確率を求める。ただし、1回目でただ1人の勝者が決まる場合は除く。

1. 問題の内容

4人でじゃんけんを繰り返し、ただ一人の勝者が決まるまで行う。負けた人は次の回以降参加しない。

(1) 1回目で3人が勝ち、1人だけ負ける確率を求める。

(2) 2回目でただ1人の勝者が決まる確率を求める。ただし、1回目でただ1人の勝者が決まる場合は除く。

2. 解き方の手順

(1) 1回目で3人が勝ち、1人だけ負ける確率

4人の中から負ける1人を選ぶ方法は4通り。

3人が勝つためには、全員が同じ手を出す必要がある。

3人の出す手の組み合わせは3通り（グー、チョキ、パー）。

よって、1回目で3人が勝ち、1人が負ける場合の数は $4 \times 3 = 12$ 通り。

4人の手の出し方の総数は $3^4 = 81$ 通り。

したがって、1回目で3人が勝ち、1人が負ける確率は $\frac{12}{81} = \frac{4}{27}$。

(2) 2回目でただ1人の勝者が決まる確率

1回目で勝者が決まらない場合は、あいこになるか、2人または3人が勝つ場合がある。

1回目で1人の勝者が決まる場合は除外する。

まず、1回目があいこになる確率を求める。

全員が同じ手を出す確率は $\frac{3}{81} = \frac{1}{27}$。

全員が異なる手を出す確率は $0$。

あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合、または2種類の手が出ている場合。

2種類の手が出る場合、手の組み合わせは ${3 \choose 2}=3$ 通り。

手の出し方は $2^4 = 16$ 通り。ただし、全員が同じ手の2通りを除くので $16-2 = 14$通り。

$3 \times 14 = 42$通り。

よってあいこになる確率は$\frac{3+42}{81} = \frac{45}{81}=\frac{5}{9}$.

1回目で2人が勝つ確率は、4人から2人を選ぶ組み合わせが${4 \choose 2}=6$通り。

勝つ手の組み合わせは3通り。あいこになる手の組み合わせは2通り。

よって、1回目で2人が勝つ確率は $\frac{6 \times 3 \times 2}{81} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}$

1回目で3人が勝つ確率は $\frac{4}{27}$。

1回目があいこだった場合、2回目で1人が勝つ確率は $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

1回目に2人が勝った場合、2回目で1人が勝つ確率は $\frac{2}{3}$

1回目に3人が勝った場合、2回目で1人が勝つ確率は $\frac{3}{3}=1$

2回目でただ1人の勝者が決まる確率は、

$(\frac{5}{9}) \times (\frac{1}{3}) + (\frac{4}{9}) \times (\frac{2}{3}) + (\frac{4}{27}) \times (1) = \frac{5}{27} + \frac{8}{27} + \frac{4}{27} = \frac{17}{27}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{27}$

(2) $\frac{17}{27}$