一次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v(x)\mathbf{i}$において、ある場所で $\mathrm{div} \mathbf{v} = -2$ となっていた。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。

1. 問題の内容

一次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v(x)\mathbf{i}$において、ある場所で $\mathrm{div} \mathbf{v} = -2$ となっていた。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。

2. 解き方の手順

一次元の場合の発散の定義から考えます。

発散 $\mathrm{div} \mathbf{v}$ は、ある点におけるベクトル場の湧き出し、または吸い込みの度合いを表します。一次元の場合、速度ベクトル場が $x$ のみに依存する場合、発散は次のように計算されます。

$\mathrm{div} \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}$

ここで、$v_x$ は速度ベクトル $\mathbf{v}$ の $x$ 成分です。

問題では、$\mathrm{div} \mathbf{v} = -2$ であると与えられています。これは、

$\frac{\partial v_x}{\partial x} = -2$

を意味します。この式は、$x$ 方向に微小距離進むと、$v_x$ が $-2$ ずつ変化することを意味します。つまり、$x$ が増加するにつれて、$v_x$ は減少しています。

3. 最終的な答え

ある場所で $\mathrm{div} \mathbf{v} = -2$ であることは、その場所において、速度ベクトルの $x$ 成分が $x$ の増加とともに減少していることを意味します。具体的には、$x$ が微小量 $\Delta x$ だけ増加すると、速度ベクトルの $x$ 成分は $-2 \Delta x$ だけ減少します。これは、その場所が流れの収束点、または吸い込み口であることを示唆しています。