xy平面における速度ベクトル場 $\mathbf{v} = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}$ の回転 $\mathrm{rot}\,\mathbf{v}$ が、なぜx,y方向の流体の速度変化を考慮することで導出されるのかを説明し、$\mathrm{rot}\,\mathbf{v} = \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \mathbf{k}$ を導出せよ。

1. 問題の内容

xy平面における速度ベクトル場 $\mathbf{v} = u\mathbf{i} + v\mathbf{j}$ の回転 $\mathrm{rot}\,\mathbf{v}$ が、なぜx,y方向の流体の速度変化を考慮することで導出されるのかを説明し、$\mathrm{rot}\,\mathbf{v} = \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \mathbf{k}$ を導出せよ。

2. 解き方の手順

回転（渦度）は、微小領域における流体の回転の度合いを表します。xy平面における流れ場を考えます。

まず、微小な正方形領域を考えます。その正方形の頂点の座標は $(x,y)$, $(x+\Delta x,y)$, $(x+\Delta x, y+\Delta y)$, $(x,y+\Delta y)$ とします。

正方形の各辺に沿った速度成分を考え、流れによる回転の寄与を計算します。

(1) 下辺 $(x,y)$ から $(x+\Delta x, y)$ までの辺: 速度成分は $u$ です。この辺での流れの寄与は、反時計回りを正とすると、$-u(x,y)\Delta x$ です。

(2) 右辺 $(x+\Delta x, y)$ から $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ までの辺: 速度成分は $v$ です。この辺での流れの寄与は、時計回りを正とすると、$v(x+\Delta x, y)\Delta y$ です。

(3) 上辺 $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ から $(x, y+\Delta y)$ までの辺: 速度成分は $u$ です。この辺での流れの寄与は、時計回りを正とすると、$u(x, y+\Delta y)\Delta x$ です。

(4) 左辺 $(x, y+\Delta y)$ から $(x,y)$ までの辺: 速度成分は $v$ です。この辺での流れの寄与は、反時計回りを正とすると、$-v(x,y+\Delta y)\Delta y$ です。

したがって、正方形領域全体での回転の大きさは、

$v(x+\Delta x, y)\Delta y - u(x,y)\Delta x - v(x,y+\Delta y)\Delta y + u(x, y+\Delta y)\Delta x$

となります。これを整理すると、

$[u(x, y+\Delta y) - u(x,y)]\Delta x + [v(x+\Delta x, y) - v(x,y+\Delta y)]\Delta y$

となります。

次に、テイラー展開を用いて近似します。

$u(x, y+\Delta y) \approx u(x,y) + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y$

$v(x+\Delta x, y) \approx v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x$

$v(x, y+\Delta y) \approx v(x,y) + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y$

これを代入すると、回転の大きさは

$(\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y)\Delta x + (\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y)\Delta y = \frac{\partial u}{\partial y}\Delta x\Delta y - \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\Delta y$

となります。この微小領域の面積 $\Delta x\Delta y$ で割ることで、単位面積あたりの回転の大きさを求めることができます。

$\frac{\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\Delta y - \frac{\partial u}{\partial y}\Delta x\Delta y}{\Delta x\Delta y} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$

これはz軸方向の回転を表しているので、$\mathbf{k}$ 方向の単位ベクトルを掛けて、

$\mathrm{rot}\,\mathbf{v} = \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \mathbf{k}$

を得ます。

3. 最終的な答え

$\mathrm{rot}\,\mathbf{v} = \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \mathbf{k}$