$x$-$y$ 平面における速度ベクトル場 $\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}$ の回転 (rot v) が、なぜ次の式で表されるのかを、$x$ および $y$ 方向の流体の速度変化を考慮して導出すること。 $\text{rot } \vec{v} = \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \vec{k}$

1. 問題の内容

$x$-$y$ 平面における速度ベクトル場 $\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}$ の回転 (rot v) が、なぜ次の式で表されるのかを、$x$ および $y$ 方向の流体の速度変化を考慮して導出すること。

$\text{rot } \vec{v} = \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \vec{k}$

2. 解き方の手順

回転の定義を理解し、微小な面積要素における循環を考えることで導出します。

まず、回転 (curl) はベクトル場の局所的な回転の度合いを表すベクトルです。二次元の場合、$z$ 軸方向の回転成分のみを持ちます。

次に、$x$-$y$ 平面上の微小な正方形領域 (辺の長さ $\Delta x$ と $\Delta y$) を考えます。この正方形の周に沿った速度ベクトルの線積分 (循環) を計算し、面積で割ることで、回転の $z$ 成分を求めることができます。

正方形の各辺に沿った線積分を計算します。

* 辺 1: $(x, y)$ から $(x+\Delta x, y)$ への線積分: $v_x(x, y) \Delta x$

* 辺 2: $(x+\Delta x, y)$ から $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ への線積分: $v_y(x+\Delta x, y) \Delta y$

* 辺 3: $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ から $(x, y+\Delta y)$ への線積分: $-v_x(x, y+\Delta y) \Delta x$

* 辺 4: $(x, y+\Delta y)$ から $(x, y)$ への線積分: $-v_y(x, y) \Delta y$

したがって、正方形の周に沿った循環は、

$\Gamma = v_x(x, y) \Delta x + v_y(x + \Delta x, y) \Delta y - v_x(x, y + \Delta y) \Delta x - v_y(x, y) \Delta y$

これを整理すると、

$\Gamma = [v_y(x + \Delta x, y) - v_y(x, y)] \Delta y - [v_x(x, y + \Delta y) - v_x(x, y)] \Delta x$

$\Delta x$ と $\Delta y$ が十分に小さい場合、微分の定義を用いて、次のように近似できます。

$v_y(x + \Delta x, y) - v_y(x, y) \approx \frac{\partial v_y}{\partial x} \Delta x$

$v_x(x, y + \Delta y) - v_x(x, y) \approx \frac{\partial v_x}{\partial y} \Delta y$

これらを循環の式に代入すると、

$\Gamma \approx \frac{\partial v_y}{\partial x} \Delta x \Delta y - \frac{\partial v_x}{\partial y} \Delta y \Delta x = \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y$

回転の $z$ 成分は、循環を面積 $\Delta x \Delta y$ で割ったものです。

$(\text{rot } \vec{v})_z = \lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \frac{\Gamma}{\Delta x \Delta y} = \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}$

したがって、回転ベクトルは、

$\text{rot } \vec{v} = \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \vec{k}$

3. 最終的な答え

$\text{rot } \vec{v} = \left( \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) \vec{k}$