a) スカラー関数 $\phi = 4x^2z + y^2z^3$ のラプラシアン $\Delta \phi$ を求める。 b) 全微分 $dz$ が $dz = \nabla f \cdot dr$ と表されることを導出する。ただし、$z = f(x, y)$であり、$r$ は位置ベクトルである。

1. 問題の内容

a) スカラー関数 $\phi = 4x^2z + y^2z^3$ のラプラシアン $\Delta \phi$ を求める。

b) 全微分 $dz$ が $dz = \nabla f \cdot dr$ と表されることを導出する。ただし、$z = f(x, y)$であり、$r$ は位置ベクトルである。

2. 解き方の手順

a) ラプラシアンの定義 $\Delta \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$ を用いて $\Delta \phi$ を計算する。

$\phi = 4x^2z + y^2z^3$

まず、各変数についての一階偏微分を計算する。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 8xz$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2yz^3$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 4x^2 + 3y^2z^2$

次に、二階偏微分を計算する。

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (8xz) = 8z$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (2yz^3) = 2z^3$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} (4x^2 + 3y^2z^2) = 6y^2z$

したがって、

$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 8z + 2z^3 + 6y^2z$

b) 全微分 $dz$ は、関数 $z = f(x, y)$ について、微小な変化 $dx$ と $dy$ によって生じる $z$ の変化を表す。すなわち、

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

一方、勾配 $\nabla f$ は、

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

また、位置ベクトル $r$ の微小変化 $dr$ は、

$dr = (dx, dy)$

したがって、勾配 $\nabla f$ と $dr$ の内積は、

$\nabla f \cdot dr = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot (dx, dy) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

これより、全微分 $dz$ は $\nabla f \cdot dr$ と等しいことがわかる。

$dz = \nabla f \cdot dr$

3. 最終的な答え

a) $\Delta \phi = 8z + 2z^3 + 6y^2z$

b) $dz = \nabla f \cdot dr$