問題は、以下の3つの式をベクトルと文章で説明せよ、というものです。 a) $\text{rot} (\vec{E}) = \vec{F}$ b) $-\int_{a2}^{a1} \vec{D} \cdot d\vec{l}$ c) $\sum_{k=1}^{6} \vec{C}_k \cdot d\vec{S}_k$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの式をベクトルと文章で説明せよ、というものです。

a) $\text{rot} (\vec{E}) = \vec{F}$

b) $-\int_{a2}^{a1} \vec{D} \cdot d\vec{l}$

c) $\sum_{k=1}^{6} \vec{C}_k \cdot d\vec{S}_k$

2. 解き方の手順

a) $\text{rot} (\vec{E}) = \vec{F}$ について

これは、電場 $\vec{E}$ の回転（ローテーション）が磁場 $\vec{F}$ になることを表しています。

ストークスの定理を用いると、以下のようにも書けます。

$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_S (\text{rot} \vec{E}) \cdot d\vec{S} = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$

左辺は、閉曲線Cに沿った電場の線積分を表します。右辺は、その閉曲線Cを縁とする曲面Sにおける磁場の面積分を表します。

つまり、電場の回転は、その周りの線積分と、その回転で作られる面に垂直な磁場の面積分として表現できます。

b) $-\int_{a2}^{a1} \vec{D} \cdot d\vec{l}$ について

これは、電束密度 $\vec{D}$ の線積分にマイナス符号をつけたものです。積分経路は $a_2$ から $a_1$ です。

電位差 $V$ は電場 $\vec{E}$ を用いて、 $V = - \int_{a2}^{a1} \vec{E} \cdot d\vec{l}$ と表されるように、

電束密度についても同様に考えることができます。この場合、電束密度は電場と誘電率の積で表されるため、$\vec{D} = \epsilon \vec{E}$ が成り立ちます。

この式は、$a_1$ と $a_2$ の間の電位差に関連付けられます。もし$\vec{D}$ が静電場における電束密度であれば、これは電位差に比例します。

c) $\sum_{k=1}^{6} \vec{C}_k \cdot d\vec{S}_k$ について

これは、ベクトル場 $\vec{C}_k$ と微小面積ベクトル $d\vec{S}_k$ の内積の総和です。 $k$ は1から6までの整数です。

これは、ある閉曲面を構成する6つの微小面積要素における、ベクトル場 $\vec{C}$ の面積分を近似的に計算していることを示唆しています。

$\vec{C}_k \cdot d\vec{S}_k$ は、微小面積 $d\vec{S}_k$ を通過するベクトル場 $\vec{C}_k$ のフラックスを表します。

総和を取ることで、これらの微小面積を通過する全フラックスの近似値が得られます。

3. 最終的な答え

a) 電場の回転は磁場に等しい。ストークスの定理により、閉曲線に沿った電場の線積分は、その閉曲線に囲まれた曲面を貫く磁場の面積分に等しい。

b) 電束密度の線積分にマイナス符号をつけたものは、電位差に関連付けられる。

c) ベクトル場と微小面積ベクトルの内積の総和は、ある閉曲面を構成する6つの微小面積要素における、ベクトル場の面積分を近似的に計算している。