ベクトル関数 $\mathbf{A} = ti - 4t^3j + t^2k$ および $\mathbf{B} = 2ti + t^2j$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 a) $\frac{d(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}{dt}$ を求める。 b) $\int_1^4 \mathbf{B} dt$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{A} = ti - 4t^3j + t^2k$ および $\mathbf{B} = 2ti + t^2j$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

a) $\frac{d(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}{dt}$ を求める。

b) $\int_1^4 \mathbf{B} dt$ を求める。

2. 解き方の手順

a) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ を計算し、その結果を $t$ で微分する。

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (ti - 4t^3j + t^2k) \cdot (2ti + t^2j) = (t)(2t) + (-4t^3)(t^2) + (t^2)(0) = 2t^2 - 4t^5$

$\frac{d(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}{dt} = \frac{d(2t^2 - 4t^5)}{dt} = 4t - 20t^4$

b) $\int_1^4 \mathbf{B} dt$ を計算する。

$\mathbf{B} = 2ti + t^2j$ なので、

$\int_1^4 \mathbf{B} dt = \int_1^4 (2ti + t^2j) dt = \left( \int_1^4 2t dt \right)i + \left( \int_1^4 t^2 dt \right)j$

$\int_1^4 2t dt = [t^2]_1^4 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$

$\int_1^4 t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21$

$\int_1^4 \mathbf{B} dt = 15i + 21j$

3. 最終的な答え

a) $\frac{d(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})}{dt} = 4t - 20t^4$

b) $\int_1^4 \mathbf{B} dt = 15i + 21j$