問題は、水の湧き出しが存在する微小立方体から流れ出る湧き出し量を、発散（div）を用いて求めること、そして、その結果を利用してガウスの発散定理を説明することです。

1. 問題の内容

問題は、水の湧き出しが存在する微小立方体から流れ出る湧き出し量を、発散（div）を用いて求めること、そして、その結果を利用してガウスの発散定理を説明することです。

2. 解き方の手順

まず、微小立方体の各面から流れ出る湧き出し量を計算します。微小立方体の辺の長さをそれぞれ $dx$、$dy$、$dz$ とします。流れ出る水流密度ベクトルを $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ とします。

* x軸方向の面の湧き出し量:

x軸の正の方向に出る面における流量は $v_x(x+dx, y, z)dydz$ であり、x軸の負の方向に出る面における流量は $v_x(x, y, z)dydz$ です。したがって、x軸方向の正味の湧き出し量は、

$(v_x(x+dx, y, z) - v_x(x, y, z))dydz = \frac{\partial v_x}{\partial x}dxdydz$

* y軸方向の面の湧き出し量:

y軸の正の方向に出る面における流量は $v_y(x, y+dy, z)dxdz$ であり、y軸の負の方向に出る面における流量は $v_y(x, y, z)dxdz$ です。したがって、y軸方向の正味の湧き出し量は、

$(v_y(x, y+dy, z) - v_y(x, y, z))dxdz = \frac{\partial v_y}{\partial y}dxdydz$

* z軸方向の面の湧き出し量:

z軸の正の方向に出る面における流量は $v_z(x, y, z+dz)dxdy$ であり、z軸の負の方向に出る面における流量は $v_z(x, y, z)dxdy$ です。したがって、z軸方向の正味の湧き出し量は、

$(v_z(x, y, z+dz) - v_z(x, y, z))dxdy = \frac{\partial v_z}{\partial z}dxdydz$

微小立方体からの総湧き出し量 $dQ$ は、上記の3方向の湧き出し量の合計であるため、

$dQ = (\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z})dxdydz = \nabla \cdot \vec{v} dxdydz$

ここで、$\nabla \cdot \vec{v}$ は $\vec{v}$ の発散（ダイバージェンス）であり、

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$

と定義されます。

したがって、微小体積 $dV = dxdydz$ あたりの湧き出し量（湧き出し密度）は $\nabla \cdot \vec{v}$ となります。

次に、ガウスの発散定理を説明します。

ある体積 $V$ を囲む閉曲面 $S$ を考えます。体積 $V$ を微小体積 $dV$ に分割し、各微小体積からの湧き出し量を合計すると、体積 $V$ 全体からの湧き出し量になります。これは積分で表現できます。

$\iiint_V \nabla \cdot \vec{v} \, dV$

この湧き出し量は、閉曲面 $S$ を通って外に流れ出る流量に等しくなります。閉曲面 $S$ 上の微小面積ベクトルを $d\vec{S}$ とすると、

$\iint_S \vec{v} \cdot d\vec{S}$

となります。ガウスの発散定理は、この2つの積分が等しいことを主張します。

$\iiint_V \nabla \cdot \vec{v} \, dV = \iint_S \vec{v} \cdot d\vec{S}$

これは、体積積分と面積積分を結びつける重要な定理です。

3. 最終的な答え

* 微小立方体から流れ出る湧き出し量は $(\nabla \cdot \vec{v}) dxdydz$ で表されます。ここで、$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$ は水流密度ベクトルの発散です。

* ガウスの発散定理は、体積 $V$ 内の湧き出し量の総和が、その体積を囲む閉曲面 $S$ からの流出量に等しいことを示しており、数式では $\iiint_V \nabla \cdot \vec{v} \, dV = \iint_S \vec{v} \cdot d\vec{S}$ と表されます。