ベクトル場 $A$ に対するストークスの定理が $\int_{S} \text{rot} A \cdot dS = \oint_{C} A \cdot dr$ で与えられるとき、この式が成り立つ理由を説明する。ここで、$S$ は曲面、$C$ はその境界である。

1. 問題の内容

ベクトル場 $A$ に対するストークスの定理が

$\int_{S} \text{rot} A \cdot dS = \oint_{C} A \cdot dr$

で与えられるとき、この式が成り立つ理由を説明する。ここで、$S$ は曲面、$C$ はその境界である。

2. 解き方の手順

ストークスの定理は、ある曲面 $S$ 上でのベクトル場 $A$ の回転の面積分が、その曲面 $S$ の境界である閉曲線 $C$ に沿ったベクトル場 $A$ の線積分に等しいことを述べています。

まず、曲面 $S$ を小さな微小面積 $\Delta S_i$ に分割します。各微小面積に対する境界を $C_i$ とします。各微小面積に対して、ベクトル場 $A$ の線積分を考えます。

$\oint_{C_i} A \cdot dr \approx (\text{rot} A)_i \cdot \Delta S_i$

この式は、微小面積上ではベクトル場 $A$ の線積分が、その微小面積における回転（rot）とその面積の積で近似できることを意味します。次に、曲面 $S$ 全体に対して、これらの線積分をすべて足し合わせます。

$\sum_i \oint_{C_i} A \cdot dr \approx \sum_i (\text{rot} A)_i \cdot \Delta S_i$

微小面積に分割された曲面上で線積分を足し合わせると、内部の経路はお互いに打ち消し合い、最終的に曲面 $S$ の境界である閉曲線 $C$ に沿った線積分だけが残ります。したがって、

$\sum_i \oint_{C_i} A \cdot dr = \oint_C A \cdot dr$

一方、右辺の和は、$\Delta S_i \to 0$ の極限で面積分に収束します。したがって、

$\lim_{\Delta S_i \to 0} \sum_i (\text{rot} A)_i \cdot \Delta S_i = \int_S \text{rot} A \cdot dS$

以上より、ストークスの定理が得られます。

$\int_{S} \text{rot} A \cdot dS = \oint_{C} A \cdot dr$

3. 最終的な答え

ストークスの定理は、曲面 $S$ 上のベクトル場 $A$ の回転の面積分が、その曲面 $S$ の境界である閉曲線 $C$ に沿ったベクトル場 $A$ の線積分に等しいことを意味する。これは、$S$ を微小面積に分割し、各微小面積における回転の積分を計算することで、証明できる。微小面積に対する線積分をすべて足し合わせると、内部の経路はお互いに打ち消し合い、最終的に境界での線積分だけが残る。