ラグランジュの未定乗数法を用いて、ある製品の生産量 $q = x^a y^b$ を最大化する、原材料XとYの投入量xとyを求める方法を説明する。ただし、Xの1単位あたりの価格は2、Yの1単位あたりの価格は3で、原材料費の総額が50であるという制約条件がある。

1. 問題の内容

ラグランジュの未定乗数法を用いて、ある製品の生産量 $q = x^a y^b$ を最大化する、原材料XとYの投入量xとyを求める方法を説明する。ただし、Xの1単位あたりの価格は2、Yの1単位あたりの価格は3で、原材料費の総額が50であるという制約条件がある。

2. 解き方の手順

まず、制約条件を数式で表す。原材料費の総額が50であることから、以下の式が成り立つ。

$2x + 3y = 50$

次に、ラグランジュ関数 $L$ を定義する。これは、最大化したい関数（生産量 $q$）から、制約条件にラグランジュ乗数 $\lambda$ を掛けたものを引いたものである。

$L(x, y, \lambda) = x^a y^b - \lambda(2x + 3y - 50)$

$L$ を $x$, $y$, $\lambda$ でそれぞれ偏微分し、偏微分係数を0とする連立方程式を解く。

$\frac{\partial L}{\partial x} = a x^{a-1} y^b - 2\lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = b x^a y^{b-1} - 3\lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(2x + 3y - 50) = 0$

これらの連立方程式を解くことで、x, y, λ の値を求めることができる。

まず最初の2つの式からλを消去する。

$\lambda = \frac{a}{2} x^{a-1} y^b$

$\lambda = \frac{b}{3} x^a y^{b-1}$

上記2式は等しいので、

$\frac{a}{2} x^{a-1} y^b = \frac{b}{3} x^a y^{b-1}$

$\frac{a}{2} \frac{y}{x} = \frac{b}{3}$

$3ay = 2bx$

$y = \frac{2b}{3a}x$

これを制約条件式 $2x + 3y = 50$ に代入すると

$2x + 3(\frac{2b}{3a}x) = 50$

$2x + \frac{2b}{a}x = 50$

$2x(1 + \frac{b}{a}) = 50$

$x(1 + \frac{b}{a}) = 25$

$x = \frac{25}{1 + \frac{b}{a}}$

$x = \frac{25a}{a + b}$

次に y を求める。

$y = \frac{2b}{3a}x = \frac{2b}{3a} \frac{25a}{a+b} = \frac{50b}{3(a+b)}$

したがって、生産量 $q$ を最大化するXとYの投入量 $x$ と $y$ はそれぞれ

$x = \frac{25a}{a+b}$, $y = \frac{50b}{3(a+b)}$

3. 最終的な答え

生産量qを最大化するXとYの投入量はそれぞれ

$x = \frac{25a}{a+b}$

$y = \frac{50b}{3(a+b)}$